Аффинное подпространство.

[TopLalka]

В книжке "Линейная алгебра и геометрия" Шафаревича и Ремизова даётся следующее определение аффинного подпространства некоторого аффинного пространства:

Цитата:

Подмножество $V'$ аффинного пространства $(V, L)$ называется аффинным подпространством, если множество векторов $\overrightarrow{AB}$ для всех $A, B \in V'$ образует векторное подпространство $L'$ векторного пространства $L$.

Далее утверждается, что, очевидно, любое аффинное подпространство само является аффинным пространством. Но мне кажется это не так: возьмем в качестве аффинного пространства плоскость (обычную плоскость из курса планиметрии), а в качестве подпространства некоторую прямую без одной точки (ясно, что множество векторов образованное точками этого множества является векторным подпространством исходного), оно не является аффинным пространством. Или я не понимаю чего-то?
И еще мне кажется, что если заменить "для всех $A,B \in V'$" на "для некоторого фиксированного $A \in V'$ и любого $B \in V'$", то все будет нормально.

[provincialka]

А как там определяется "вектор" $\overrightarrow{AB}$? Наверное, с помощью некоторой факторизации?

[TopLalka]

provincialka в сообщении #791762 писал(а):

А как там определяется "вектор" $\overrightarrow{AB}$? Наверное, с помощью некоторой факторизации?

Нет. Там аффинное пространство определялось как упорядоченная двойка из множества точек и векторного пространства с правилом (обладающим некоторыми свойствами), сопоставляющим каждым двум точками некоторый вектор, и под вектором $\overrightarrow{AB}$ понимался вектор соответствующий точкам А и В по этому правилу.

[provincialka]

А правило - типа правила треугольника (параллелограмма)? Ну да, я так и думала. То есть пр сути вектор можно отложить от точки. Но это и дает факторизацию, так как разные "отрезки со стрелками" задают один вектор.

Я так поминаю ваш вопрос. Если взять подмножество и построить все упорядоченные пары, факторизуя это множество, получим линейное подпространство. Но этого ведь мало, надо, чтобы каждый элемент этого подпространства (свободный вектор) можно было отложить от любой точки. Это как-то должно получаться из определения, из тех самых правил, о которых вы говорите.

[TopLalka]

provincialka в сообщении #791768 писал(а):

А правило - типа правила треугольника (параллелограмма)?

А что Вы имеете в виду под правилом треугольника? Вообще правило в смысле функции из декартового квадрата множества точек в векторное пространство.

provincialka в сообщении #791768 писал(а):

Я так поминаю ваш вопрос. Если взять подмножество и построить все упорядоченные пары, факторизуя это множество, получим линейное подпространство. Но этого ведь мало, надо, чтобы каждый элемент этого подпространства (свободный вектор) можно было отложить от любой точки. Это как-то должно получаться из определения, из тех самых правил, о которых вы говорите.

Но в случае с прямой без одной точки не получается же.
Свойства там такие:
1)Для любых трех точек $A, B, C $ выполняется$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
2)Для любых трех точек $A, B, C $ существует и только одна точка $D$ такая, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
3)Для любых двух точек$A, B$ и любого элемента поля $\lambda$ существует и только одна точка $C$ такая, что $\lambda\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$

[AV_77]

Не совсем корректное определение. Его надо понимать в том смысле, что для любой точки $A$ множество векторов $\overrightarrow{AB}$, где $B$ пробегает все $V'$, образует подпространство.

Вообще, обычно аффинное подпространство определяется как множество вида $p + L'$, где $p \in V$ - некоторая точка, а $L'$ - подпространство в $L$.

[provincialka]

Ну вот. 1) это и есть правило треугольника. А 2) - это эквивалентность между векторами-отрезками.
А на прямой с выколотой точкой не будет выполняться (2), если точка $D$ как раз попадет на выколотую.

-- 23.11.2013, 18:51 --

AV_77, согласна с вами. Меня просто смутили имена авторов - солидные же люди.

[TopLalka]

provincialka в сообщении #791775 писал(а):

Меня просто смутили имена авторов - солидные же люди.

Вот и меня они тоже смутили.

AV_77 в сообщении #791774 писал(а):

что для любой точки $A$ множество векторов $\overrightarrow{AB}$, где $B$ пробегает все $V'$, образует подпространство.

Должно хватить одной такой точки А.

[Oleg Zubelevich]

определение аффинного пространсва некоторое время обсуждалось начиная отсюда post749221.html#p749221 и ниже