Вычислить сумму. С какой стороны к этому подступиться?

[Anthony52]

$\int\limits_{0}^{1} 2(1-x)^n dx = 2\frac {(1-x)^{n+1}}{-(n+1)} \bigg|_0^1 = \frac {2}{n+1} = $\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {C_n^k} {\frac {k+2}2}$

$\int\limits_{0}^{1} 2x(1-x)^n dx = 2\int\limits_{0}^{1} x(1-x)^n dx$
Заменим $1-x=a$
$-dx=da$
$x=1-a$

$2\int\limits_{0}^{1} x(1-x)^ndx = -2\int\limits_{0}^{1} (1-a)a^nda = -2 (\frac {a^{n+1}}{n+1} - \frac {a^{n+2}}{n+2}) \bigg|_0^1 = \frac 2{n+2} - \frac 2{n+1}$

[ewert]

Anthony52 в сообщении #786563 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1} 2(1-x)^n dx = 2\frac {(1-x)^{n+1}}{-(n+1)} \bigg|_0^1 = \frac {2}{n+1} = $\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {C_n^k} {\frac {k+2}2}$

Сумма неправильная.

[Anthony52]

$\int\limits_{0}^{1} 2(1-x)^n dx = 2\frac {(1-x)^{n+1}}{-(n+1)} \bigg|_0^1 = \frac {2}{n+1} = $\sum\limits_{k=1}^{n} \frac {C_{n-1}^{k-1}} {C_{2n-1}^{k}}$ при $n\geq1$

$2\int\limits_{0}^{1} x(1-x)^ndx = \frac 2{n+2} - \frac 2{n+1} = -\sum\limits_{k=1}^{n} \frac {C_{n-1}^{k-1}} {C_{n+1}^{k}}$ при $n\geq1$

[ewert]

Неверно. Всё неверно (в смысле все суммы). Вы уж хоть попытайтесь хоть немножко раскрыть те скобки под знаками интегралов, ну хоть попытку сделайте.

[Anthony52]

$(1-x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {C_{n}^{k}x^k}$

$x(1-x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {C_{n}^{k}x^{k+1}}$

[Anthony52]

Так или опять не так?

[Sonic86]

Anthony52 в сообщении #790186 писал(а):

$(1-x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {C_{n}^{k}x^k}$

Это верно как бином Ньютона.

Anthony52 в сообщении #790186 писал(а):

$x(1-x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {C_{n}^{k}x^{k+1}}$

Да (просто предыдущее умножили на $x$)

[Anthony52]

С интегралами что делать, не понял?