Функция с заданными производными в нуле?

[Geros]

Дана произвольная последовательность вещественных чисел $(a_0, a_1, a_2, ...)$(бесконечная).

Требуется пострить гладкую (на всей прямой) вещественную функцию $f(x)$, у которой k-ая производная в нуле $f^{(k)}(0)=a_k$ (т. е. у которой заранее определены производные всех порядков в нуле).

Что делать? Подскажите...

[Ms-dos4]

$\[f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{k!}}{f^{(k)}}(0){x^k}} \]$

[SpBTimes]

Ms-dos4
Это не очень хорошо, так как не всегда это все будет сходиться.

Когда-то этот вопрос решал. Рассмотрите такую функцию:

$$ f(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n\frac{x^n}{1 + n! a_n^2x^2} $$

Докажите, что для любого $m$ формально продифференцированный ряд $f^{(m)}(x)$ сходится равномерно на любом конечном отрезке $[-A; A]$, тем самым оправдаете бесконечную дифференцируемость. Ну и затем уж понятно, как определять константы.

[Ms-dos4]

SpBTimes

(Оффтоп)

Съел. Читая вопрос "проскочил" гладкость. Действительно, не факт, что ряд после почленного дифференцирования будут равномерно сходится.

[Geros]

SpBTimes

Спасибо.

А это какой-то общий метод или "подбирание вручную"?

[SpBTimes]

Geros
Не понял. Общего метода решения задач, как известно, нет

[Geros]

SpBTimes

Я имею в виду, из каких соображений получена предложенная Вами функция? Или она просто "угадана"?

[SpBTimes]

Важно было подобрать хороший общий член, чтобы была равномерная сходимость всех производных. Константы подобрать уже проще.

[Geros]

Цитата:

Константы подобрать уже проще.

Погодите, какие константы?

Ваши $a_n$ это НЕ числа из заданной последовтаельности?

[SpBTimes]

Нет конечно, вы бы хоть попробовали сами посмотреть.

[Oleg Zubelevich]

post728380.html#p728380

[Geros]

SpBTimes

Цитата:

Нет конечно, вы бы хоть попробовали сами посмотреть.

Я потому и удивился: вроде не они, а обозначены так же...

Oleg Zubelevich

Что Вы подразумеваете под D(R)?

(Если то, что я подумал, то ... это не даёт решения задачи).

[Oleg Zubelevich]

Под D(R) я подразумеваю то, что подразумевают во всех учебниках, а Ваше мнение о том, что является решением, а что нет меня не интересует

[SpBTimes]

Geros в сообщении #791549 писал(а):

Что Вы подразумеваете под D(R)?

Это пространство основных функций

[provincialka]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #791552 писал(а):

Ваше мнение о том, что является решением, а что нет меня не интересует

Зачем же грубить на пустом месте? Раз вы отвечаете человеку, надо учитывать его мнение.