еще одна задача с колмогоровской олимпиады

[ecartman]

Решаю задачу 3 с 6-ой Колмогоровской олимпиады по теории вероятностей. Условие:
Пусть последовательность $\xi_n$ cл. величин не является сходящейся к нулю почти наверное при $n\to\infty$. Доказать, что существует $\epsilon>0$, возрастающая последовательность натуральных чисел $n_k$, $k\ge1$ и последовательность вложенных событий $A_{k+1}\subset A_k$, такие что $|\xi_{n_k}(\omega)|\ge\epsilon$ при $\omega\in A_k$ и $\Pr(A_k)>0$ для $k\ge1$.

Расмотрим такой пример: пусть $A_k=(1-1/k,3-1/k]$, $k\ge1$ и пусть $\Omega=[0,3]$. Среди этих множеств нельзя выделить вложенные. Пусть $\xi_n(\omega)=\boldsymbol{1}_{\omega\in A_n}$. Тогда $\Pr(\xi_n=1)=\Pr(A_n)=2/3$ и $\Pr(\xi_n=0)=1-\Pr(A_n)=1/3$ и последовательность $\xi_n$ не сходится к нулю п.н. (эта последовательность уже стационарна и предел есть сл. величина с таким же распределением). Но в данном случае нет никаких вложенных множеств. Что тут не так?

[--mS--]

Почему нет? Множества $B_k=[1,\,2]$ вполне себе вложенные и удовлетворяют условию.

[ecartman]

Хм, так получается, что вложенные множества $A_{n_k}$ не обязательно должны быть из $A_n$? Потому что в данном случае $B_n=[1,2]$ не совпадает ни с одним $A_n$.

[--mS--]

В условии задачи и нет никаких $A_n$ кроме тех, существование которых утверждается в задаче. Почему Вы решили, что они должны обнаружиться среди заданной последовательности множеств?