Решаю задачу 3 с 6-ой Колмогоровской олимпиады по теории вероятностей. Условие:
Пусть последовательность

cл. величин не является сходящейся к нулю почти наверное при

. Доказать, что существует

, возрастающая последовательность натуральных чисел

,

и последовательность вложенных событий

, такие что

при

и

для

.
Расмотрим такой пример: пусть
![$A_k=(1-1/k,3-1/k]$ $A_k=(1-1/k,3-1/k]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/b/2fb5cbbed7abc87e1b2acaa80e8be51582.png)
,

и пусть
![$\Omega=[0,3]$ $\Omega=[0,3]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/e/44e895080ed7864f7d1a4630b6617ace82.png)
. Среди этих множеств нельзя выделить вложенные. Пусть

. Тогда

и

и последовательность

не сходится к нулю п.н. (эта последовательность уже стационарна и предел есть сл. величина с таким же распределением). Но в данном случае нет никаких вложенных множеств. Что тут не так?