Поиск оптимальной кривой с естественным параметром

[cupuyc]

Здравствуйте.

У меня задан некоторый функционал $F(r,r')$, зависящий от $r: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ -- естественно параметризованной кривой. Нужно найти такую кривую $r(s)$, чтобы функционал $F$ принимал минимальное значение.

Допустим, я решаю оптимизационную задачу методом градиентного спуска. Задаю функцию $r$ с произвольным параметром $t$ как
$r=\left(\begin{array}{c} f\left(t\right)\cos t\\ f\left(t\right)\sin t \end{array}\right)$
Функцию $f$ ищу в виде полинома $f(t)=\sum_{i=0}^{N}a_{i}t^{i}$.

Проблема заключается в том, что на каждой итерации (для каждого нового набора параметров $a$) нужно искать естественный параметр $s(t)$ для кривой $r$, то есть решать дифференциальное уравнение
$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{df}{dt}\right)^{2}+f^{2}}$
что существенно усложняет вычисления.

Может быть можно выбрать вид функции $f(a, t)$ таким образом, чтобы длина кривой $r$ не зависела от параметров $a$?

[ИСН]

Ну так и ищите свою кривую прямо в естественно параметризованном виде. Кривизна в зависимости от естественного параметра, т.е. от длины.

[cupuyc]

ИСН, если мы ищем кривизну -- всё равно придётся лишний раз интегрировать, чтобы получить саму кривую $r(s)$. Или я чего-то недопонимаю?

[ИСН]

Сама кривая - это она и есть. Чтобы получить её декартовы координаты - да, надо будет проинтегрировать. Один раз. В конце.

[cupuyc]

ИСН, почему один раз? Придётся интегрировать на каждой итерации -- градиент функционала $F$ ведь тоже зависит от декартовых координат кривой $r(s)$. В чём тогда преимущество по сравнению с заданием кривой $r(t)$ с произвольным параметром $t$ и последующей перепараметризацией? Точно так же нужно будет один раз проинтегрировать, чтобы найти $t(s)$.

[ИСН]

Если градиент функционала зависит от декартовых координат кривой, то какой смысл в Вашем первоначальном сообщении:

cupuyc в сообщении #790709 писал(а):

У меня задан некоторый функционал $F(r,r')$, зависящий от $r: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ -- естественно параметризованной кривой

Ы?
Тогда так и ищите в декартовом виде. Зачем перепараметризовывать? зачем искать естественный параметр?

[cupuyc]

Ещё раз попробую сформулировать. В функционал $F$ входят декартовы координаты естественно параметризованной кривой $r(s)$ и производной $r'(s)$. Уравнения выписаны именно для естественно параметризованной кривой -- какую угодно кривую в функционал запихать не получится, придётся переписывать все уравнения, что весьма затруднительно.

Теперь нужно найти оптимальную кривую $r(s)$ (для которой $F\to\min$). Оптимальную тут конечно не найти, но хотя бы субоптимальную. Пусть, например, в декартовых координатах субоптимальная кривая может быть приближена некоторым полиномом

$r(s)=\left(\begin{array}{c} \sum_{i}a_{i}s^{i}\\ \sum_{i}b_{i}s^{i} \end{array}\right)$ (1)

Тогда задача оптимизации сводится к поиску коэффициентов $a_i, b_i$. Нужно реализовать процедуру перебора этих коэффициентов. Допустим, это будет метод градиентного спуска. Выбираем начальные значения коэффициентов $a,b$, вычисляем значение градиента F по этим коэффициентам, даём приращение коэффициентам против направления градиента и т.д. Проблема: мы не можем выбрать произвольный набор параметров $a_i, b_i$, т.к. этот набор в общем случае не удовлетворяет $\left\Vert r'(s)\right\Vert =1$, следовательно полином (1) нельзя подставлять в $F$.

Вопрос: каким образом перебирать коэффициенты так, чтобы $r(s)$ всегда оставалась естественно параметризованной? Или, может, декартовы координаты приближать не полиномами, а каким-нибудь другим набором функций?

[iifat]

Вот это видели? Как понимаю, в естественной параметризации ни многочленов, ни дробно-рациональных функций не ждите.

-- 21.11.2013, 23:20 --

И вообще, сильно сомневаюсь, что в такой постановке "некий функционал" — что-то разумное можно сделать. Сужайте задачу.

[cupuyc]

iifat, да, видимо полиномы не подойдут.

Сужать тут особо нечего. Задача численная, аналитически всё-равно ничего не решить -- так какая разница что именно представляет собой функционал? Если кратко -- это интеграл по параметру $s$ с фиксированными концами от некоторой нелинейной функции.

-- Чт ноя 21, 2013 19:48:13 --

Можно искать кривую в виде $r\left(s\right)=\int^{s}\left(\begin{array}{c} \cos P_{n}\left(w\right)\\ \sin P_{n}\left(w\right) \end{array}\right)dw$

[svv]

cupuyc в сообщении #791069 писал(а):

Если кратко -- это интеграл по параметру $s$ с фиксированными концами от некоторой нелинейной функции.

Фиксированы концы кривой? Значит, пределы интегрирования переменные?

[cupuyc]

svv, фиксированы пределы интегрирования и концы кривой. Плюс есть дополнительные условия в виде неравенств. С концами кривой не уверен -- возможно какие-то ограничения придётся менять, если в результате получим какой-нибудь вырожденный случай.

[svv]

Ой...
Помогите мне понять.

Часто, очень часто нет никаких оснований фиксировать длину кривой. Если Вы, интегрируя по натуральному параметру, зафиксируете нижний и верхний предел интегрирования, то длина кривой тоже зафиксируется (зачем Вам это?)

Если же не фиксировать, например, верхний предел интегрирования (чтобы длине позволено было меняться), он будет меняться при вариациях, что не очень удобно. По этой причине интегрируют не по $s$, а по другому параметру, который является функцией координат. И только потом, найдя экстремаль, переходят к $s$.

[cupuyc]

Цитата:

Часто, очень часто нет никаких оснований фиксировать длину кривой. Если Вы, интегрируя по натуральному параметру, зафиксируете нижний и верхний предел интегрирования, то длина кривой тоже зафиксируется (зачем Вам это?)

Понятно, что зафиксируется. Такая вот задачка. Кратчайшая кривая тут неинтересна. Интересна именно форма кривой заданной длины.

[svv]

Понятно.

А я тоже не имел в виду кратчайшую кривую. Доставляющую минимум функционалу — да, с фиксированными концами, но вовсе не обязательно кратчайшую.