2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 14:51 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте.

У меня задан некоторый функционал $F(r,r')$, зависящий от $r: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ -- естественно параметризованной кривой. Нужно найти такую кривую $r(s)$, чтобы функционал $F$ принимал минимальное значение.

Допустим, я решаю оптимизационную задачу методом градиентного спуска. Задаю функцию $r$ с произвольным параметром $t$ как
$r=\left(\begin{array}{c}
f\left(t\right)\cos t\\
f\left(t\right)\sin t
\end{array}\right)$
Функцию $f$ ищу в виде полинома $f(t)=\sum_{i=0}^{N}a_{i}t^{i}$.

Проблема заключается в том, что на каждой итерации (для каждого нового набора параметров $a$) нужно искать естественный параметр $s(t)$ для кривой $r$, то есть решать дифференциальное уравнение
$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{df}{dt}\right)^{2}+f^{2}}$
что существенно усложняет вычисления.

Может быть можно выбрать вид функции $f(a, t)$ таким образом, чтобы длина кривой $r$ не зависела от параметров $a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13326
с Территории
Ну так и ищите свою кривую прямо в естественно параметризованном виде. Кривизна в зависимости от естественного параметра, т.е. от длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 15:23 
Аватара пользователя


30/07/10
254
ИСН, если мы ищем кривизну -- всё равно придётся лишний раз интегрировать, чтобы получить саму кривую $r(s)$. Или я чего-то недопонимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13326
с Территории
Сама кривая - это она и есть. Чтобы получить её декартовы координаты - да, надо будет проинтегрировать. Один раз. В конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 16:06 
Аватара пользователя


30/07/10
254
ИСН, почему один раз? Придётся интегрировать на каждой итерации -- градиент функционала $F$ ведь тоже зависит от декартовых координат кривой $r(s)$. В чём тогда преимущество по сравнению с заданием кривой $r(t)$ с произвольным параметром $t$ и последующей перепараметризацией? Точно так же нужно будет один раз проинтегрировать, чтобы найти $t(s)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение20.11.2013, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13326
с Территории
Если градиент функционала зависит от декартовых координат кривой, то какой смысл в Вашем первоначальном сообщении:
cupuyc в сообщении #790709 писал(а):
У меня задан некоторый функционал $F(r,r')$, зависящий от $r: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ -- естественно параметризованной кривой

Ы?
Тогда так и ищите в декартовом виде. Зачем перепараметризовывать? зачем искать естественный параметр?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 15:00 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Ещё раз попробую сформулировать. В функционал $F$ входят декартовы координаты естественно параметризованной кривой $r(s)$ и производной $r'(s)$. Уравнения выписаны именно для естественно параметризованной кривой -- какую угодно кривую в функционал запихать не получится, придётся переписывать все уравнения, что весьма затруднительно.

Теперь нужно найти оптимальную кривую $r(s)$ (для которой $F\to\min$). Оптимальную тут конечно не найти, но хотя бы субоптимальную. Пусть, например, в декартовых координатах субоптимальная кривая может быть приближена некоторым полиномом

$r(s)=\left(\begin{array}{c}
\sum_{i}a_{i}s^{i}\\
\sum_{i}b_{i}s^{i}
\end{array}\right)$ (1)

Тогда задача оптимизации сводится к поиску коэффициентов $a_i, b_i$. Нужно реализовать процедуру перебора этих коэффициентов. Допустим, это будет метод градиентного спуска. Выбираем начальные значения коэффициентов $a,b$, вычисляем значение градиента F по этим коэффициентам, даём приращение коэффициентам против направления градиента и т.д. Проблема: мы не можем выбрать произвольный набор параметров $a_i, b_i$, т.к. этот набор в общем случае не удовлетворяет $\left\Vert r'(s)\right\Vert =1$, следовательно полином (1) нельзя подставлять в $F$.

Вопрос: каким образом перебирать коэффициенты так, чтобы $r(s)$ всегда оставалась естественно параметризованной? Или, может, декартовы координаты приближать не полиномами, а каким-нибудь другим набором функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 15:19 
Заслуженный участник


16/02/13
3611
Владивосток
Вот это видели? Как понимаю, в естественной параметризации ни многочленов, ни дробно-рациональных функций не ждите.

-- 21.11.2013, 23:20 --

И вообще, сильно сомневаюсь, что в такой постановке "некий функционал" — что-то разумное можно сделать. Сужайте задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 16:43 
Аватара пользователя


30/07/10
254
iifat, да, видимо полиномы не подойдут.

Сужать тут особо нечего. Задача численная, аналитически всё-равно ничего не решить -- так какая разница что именно представляет собой функционал? Если кратко -- это интеграл по параметру $s$ с фиксированными концами от некоторой нелинейной функции.

-- Чт ноя 21, 2013 19:48:13 --

Можно искать кривую в виде $r\left(s\right)=\int^{s}\left(\begin{array}{c}
\cos P_{n}\left(w\right)\\
\sin P_{n}\left(w\right)
\end{array}\right)dw$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 18:13 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
cupuyc в сообщении #791069 писал(а):
Если кратко -- это интеграл по параметру $s$ с фиксированными концами от некоторой нелинейной функции.
Фиксированы концы кривой? Значит, пределы интегрирования переменные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 21:14 
Аватара пользователя


30/07/10
254
svv, фиксированы пределы интегрирования и концы кривой. Плюс есть дополнительные условия в виде неравенств. С концами кривой не уверен -- возможно какие-то ограничения придётся менять, если в результате получим какой-нибудь вырожденный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 22:21 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
Ой...
Помогите мне понять.

Часто, очень часто нет никаких оснований фиксировать длину кривой. Если Вы, интегрируя по натуральному параметру, зафиксируете нижний и верхний предел интегрирования, то длина кривой тоже зафиксируется (зачем Вам это?)

Если же не фиксировать, например, верхний предел интегрирования (чтобы длине позволено было меняться), он будет меняться при вариациях, что не очень удобно. По этой причине интегрируют не по $s$, а по другому параметру, который является функцией координат. И только потом, найдя экстремаль, переходят к $s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 23:04 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Цитата:
Часто, очень часто нет никаких оснований фиксировать длину кривой. Если Вы, интегрируя по натуральному параметру, зафиксируете нижний и верхний предел интегрирования, то длина кривой тоже зафиксируется (зачем Вам это?)
Понятно, что зафиксируется. Такая вот задачка. Кратчайшая кривая тут неинтересна. Интересна именно форма кривой заданной длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск оптимальной кривой с естественным параметром
Сообщение21.11.2013, 23:58 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
Понятно.

А я тоже не имел в виду кратчайшую кривую. Доставляющую минимум функционалу — да, с фиксированными концами, но вовсе не обязательно кратчайшую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group