Нахождение экстремумов для кусочно-гладких ф-ий

[sanya_rnd]

Доброе время суток.

Вопрос: есть гладко-кусочные ф-ии, периодичные и непериодичные. Задаются на (-oo, +oo). Заведомо ограничены. Нужно найти sup/inf. Алгоритм я составить никак не могу: гладко-кусочные ф-ии дифф. на определенных интервалах, которые я каким-то образом должен получить. А может быть так, что я и периода не знаю ($sin(x^2)$, $log(sin(x^2))$).

Опять же, даже если будет дан интервал, а не вся О.Р., кто даст гарантию, что ф-я там монотонна? В общем идей у меня нет.

Основное назначение: нахождение обратного отображения.


Буду признателен за любую помощь.

[Aritaborian]

($\TeX$)

Бесконечность набирается так: \infty. Функции так: \sin, \log.

[arseniiv]

sanya_rnd в сообщении #790826 писал(а):

Вопрос: есть гладко-кусочные ф-ии, периодичные и непериодичные.

Т. е. просто гладко-кусочные.

Какого вида куски, как они представляются — в виде формул? (И интервалов, конечно.) Или вся функция целиком задаётся каким-то изощрённым способом?

sanya_rnd в сообщении #790826 писал(а):

А может быть так, что я и периода не знаю ($sin(x^2)$, $log(sin(x^2))$).

Функции $x\mapsto\sin x^2$ и $x\mapsto\log_a\sin x^2$ — непериодические.

sanya_rnd в сообщении #790826 писал(а):

Основное назначение: нахождение обратного отображения.

Для чего? В каком виде оно должно быть представлено?

[sanya_rnd]

arseniiv в сообщении #790854 писал(а):

sanya_rnd в сообщении #790826 писал(а):

Вопрос: есть гладко-кусочные ф-ии, периодичные и непериодичные.

Т. е. просто гладко-кусочные.

Какого вида куски, как они представляются — в виде формул? (И интервалов, конечно.) Или вся функция целиком задаётся каким-то изощрённым способом?

Дается f: $\sin(x^2)$ на интервале ( $-\infty$ ; $+\infty$ ). Дается интервал принадлежащий $R$, к примеру, [0, $\sqrt{49}$). Найти прообраз.

Цитата:

Функции $x\mapsto\sin x^2$ и $x\mapsto\log_a\sin x^2$ — непериодические.

Это я и имел ввиду: данные ф-ии вообще не имеют периода и тут такой подход не имеет смысла.

Цитата:

Для чего? В каком виде оно должно быть представлено?

Для ничего. Задание такое. На выходе интервал должен получиться. Так-то все работает, только вот такого типа ф-ии не идут. А они в каком-то роде обязательны.

Особого изврата, типа пятиэтажных дробей не будет конечно, но базис должно решать.

Есть вариант в лоб: дифференцировать по стандартной формуле с шагом, находя точки экстремума. Но меня пугает то, что ф-я может быть задана на промежутке как минимум от $-10^6$ до $10^6$ и при особом усердии можно подобрать, что-то вроде того же синуса, но неограниченного. Тогда, обработка всех точек на таком интервале займет очень долгое время. Не очень хотелось бы.

[arseniiv]

sanya_rnd в сообщении #790870 писал(а):

Так-то все работает, только вот такого типа ф-ии не идут. А они в каком-то роде обязательны.

Особого изврата, типа пятиэтажных дробей не будет конечно, но базис должно решать.

Вы так и не указали, какой именно у вас вход. Каким способом задаётся функция. Вы ей можете символьно оперировать, или она, скажем, в виде чёрного ящика, в который можно передавать аргумент и получать результат применения?

sanya_rnd в сообщении #790870 и с косметическими правками писал(а):

на интервале $(-\infty; +\infty)$. Дается интервал принадлежащий $\mathbb R$, к примеру, $[0, \sqrt{49})$.

Какую роль играет первый интервал, если он нивелируется вторым?

Пока вы не привели чётко постановку задачи, что можно сделать?

[sanya_rnd]

arseniiv в сообщении #790872 писал(а):

Вы так и не указали, какой именно у вас вход. Каким способом задаётся функция. Вы ей можете символьно оперировать, или она, скажем, в виде чёрного ящика, в который можно передавать аргумент и получать результат применения?

Пока вы не привели чётко постановку задачи, что можно сделать?

Потому что я Вас немного неправильно понял :). Подается строкой, дальше обрабатывается, и мы можем оперировать с ней символьно, т.е. делать с ней все, что угодно.

[arseniiv]

О, хорошо. А какие функции могут использоваться там, какие операции и пр.?

-- Чт ноя 21, 2013 01:12:35 --

(Ну и теперь, по крайней мере, вы сможете использовать вместо численного дифференцирования символьное, если будет надо. А я пойду спать… )

[sanya_rnd]

Стандарт.

Тригонометрия, арифметические операции, возведение в степень, логарифмы, e и pi. Все, что можно реализовать за счет языка при подсчетах без особых проблем.

[Aritaborian]

(Оформление)

sanya_rnd, цитируйте правильно: выделите цитируемый текст и нажмите кнопку . Формулы окружайте знаками доллара.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Поправьте цитаты

Aritaborian в сообщении #790880 писал(а):

sanya_rnd, цитируйте правильно: выделите цитируемый текст и нажмите кнопку . Формулы окружайте знаками доллара.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[sanya_rnd]

Идей не будет, получается?

[arseniiv]

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно найти экстремумы.
Чтобы найти экстремумы, нужно найти нули производной.
Чтобы найти нули производной, нужно решить уравнение. Раз вас устраивает численное решение…

-- Чт ноя 21, 2013 17:50:13 --

Ваш алгоритм сейчас что-то даёт для $x\mapsto\frac1{x^2+1}$? А для $x\mapsto-x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$?

[sanya_rnd]

arseniiv в сообщении #791038 писал(а):

Ваш алгоритм сейчас что-то даёт для $x\mapsto\frac1{x^2+1}$? А для $x\mapsto-x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$?

Конечно. $x\mapsto\frac1{x^2+1}$ дифферинцируется без каких-либо проблем, поэтому мы получим x = 0, где ф-я меняет монотонность. Последнее - вообще подарок.


Экстремумы кусочно-гладкой найти без интервала нельзя. Интервал можно задать каким-либо большим, или даже как интервал от константы до бесконечности. Численное решение мне НЕ нравится, но я не вижу здесь другого варианта.

[arseniiv]

Нет, не то. Находятся ли дальше обратные?