Вроде бы простая задача по СТО

[warpod]

Сразу скажу, я слабо понимаю СТО, но пытаюсь разобраться:

Наблюдатель X из точки A равноускоренно движется в точку C так, что в некоторой точке B знак ускорения мгновенно меняется на противоположный. Допустим, по часам наблюдателя X все путешествие из A в C заняло 2 часа. Начальная скорость наблюдателя X относительно A и конечная скорость наблюдателя X относительно C равны нулю (плавно стартовал и плавно финишировал). Точки A и C неподвижны относительно друг друга.

Наблюдатель Y все время находится в точке A и по его часам наблюдатель X добирается до точки C за 2 года.

Наблюдатель X в точке B посылает наблюдателю Y радиосигнал.

Требуется ответить на вопросы:
1. Сколько пройдет времени по часам X в момент отправки сигнала? (1 час??)
2. Сколько пройдет времени по часам Y в момент приема сигнала?

Подскажите решение или как такая задача должна решаться?

[DimaM]

warpod в сообщении #790998 писал(а):

1. Сколько пройдет времени по часам X в момент отправки сигнала? (1 час??)

Да.

warpod в сообщении #790998 писал(а):

2. Сколько пройдет времени по часам Y в момент приема сигнала?

Эта точка - середина пути. Значит, по часам Y сигнал будет отправлен через год после старта. Далее надо найти расстояние до этой точки, поделить на скорость света и добавить - это время прохождения сигнала.

Чтобы это найти, надо выразить перемещение и собственное время X через время Y.
Продольная сила одинакова во всех ИСО, поэтому имеем выражение для импульса

$$p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=mat.$$

Отсюда выражается скорость, потом интегрированием находится перемещение. Для собственного времени имеем выражение $dt'=dt\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}$. Надо подставить скорость и проинтегрировать, получится $\sh(at/c)=at'/c$. Отсюда можно найти $a$, только вряд ли аналитически. Потом находится перемещение и время.
Может быть, удастся как-то упростить итоговое выражение, чтоб не решать это трансцендентное уравнение, но у меня сходу не получилось.

[EEater]

DimaM в сообщении #791005 писал(а):

Может быть, удастся как-то упростить итоговое выражение, чтоб не решать это трансцендентное уравнение, но у меня сходу не получилось.

Возможно, человек имел в виду, что ускорение известно, а часы и годы взял для примера. Правда, в этом случае от СТО в задаче ничего и не остается...

[DimaM]

EEater в сообщении #791008 писал(а):

Правда, в этом случае от СТО в задаче ничего и не остается...

Выражение для перемещения остается. Хотя это немного, соглашусь.

[rustot]

ну тут как то почетче надо определиться с "равноускоренностью"

если равноускоренно означает скорость объекта $v = a t$ относительно ИСО в которой покоится Y, то решаете обычными школьными методами в рамках классической механики чему будет равняться время разгона $t_0$, добавляете время полета сигнала из этой точки опять же классическим способом, это и будет ответом на второй вопрос, он в сто точно такой же как и в классике

а ответ на первый вопрос, собственное время по часам X вычисляете исходя из предыдущего ответа $t_0' = \int_0^{t_0} \sqrt{1-(a t)^2/c^2} dt$

но такая "равноускоренность" означает что ускоряющийся товарищ будет испытывать непрерывно растущие перегрузки, а не постоянные

[DimaM]

rustot в сообщении #791012 писал(а):

если равноускоренно означает скорость объекта $v = a t$ относительно ИСО в которой покоится Y, то решаете обычными школьными методами в рамках классической механики чему будет равняться время разгона $t_0$, это и будет ответом на второй вопрос, он в сто точно такой же как и в классике.

а ответ на первый вопрос, собственное время по часам X вычисляете исходя из предыдущего ответа $t_0' = \int_0^{t_0} \sqrt{1-(a t^2)/c^2} dt$

В этом случае максимальное отношение времен $t_0/t'_0$ получается при $at_0=c$ и равно $4/\pi$. Так что два года и два часа никак не выйдет.

[EEater]

Как я понял, он имеет в виду равноускоренность отдельно на АВ и на ВС. График движения симметричный во времени.

[warpod]

DimaM в сообщении #791005 писал(а):

Эта точка - середина пути. Значит, по часам Y сигнал будет отправлен через год после старта. Далее надо найти расстояние до этой точки, поделить на скорость света и добавить - это время прохождения сигнала.

Чтобы это найти, надо выразить перемещение и собственное время X через время Y.
Продольная сила одинакова во всех ИСО, поэтому имеем выражение для импульса

$$p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=mat.$$

Отсюда выражается скорость, потом интегрированием находится перемещение. Для собственного времени имеем выражение $dt'=dt\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}$. Надо подставить скорость и проинтегрировать, получится $\sh(at/c)=at'/c$. Отсюда можно найти $a$, только вряд ли аналитически. Потом находится перемещение и время.
Может быть, удастся как-то упростить итоговое выражение, чтоб не решать это трансцендентное уравнение, но у меня сходу не получилось.

Спасибо, Вы очень помогли.

[rustot]

движение с постоянной перегрузкой $a$, если не ошибаюсь, из исо выглядит как $v(t) = \frac{a t}{\sqrt{1+ (a t)^2/c^2}}$ а дальше все так же

[Munin]

rustot
DimaM в post791005.html#p791005 уже ответ дал. Впрочем, проинтегрируйте самостоятельно, для вас это хорошее упражнение.