Функциональная последовательность

[provincialka]

Не совсем оценкой. Суть в том, что при отсутствии равномерности значения остатка маленькие, но не одновременно маленький. Нужно привести, так сказать, контрпример, те $x$, в которых остаток недостаточно мал.

-- 18.11.2013, 18:06 --

Когда мы доказываем равномерность, мы говорим "для всех $x$ выполняется то-то и то-то". А когда мы это опровергаем, говорим: "нет, не для всех, вот для этого не выполняется". Если бы вы нашли супремум остатка, это решило бы обе проблемы. Но это трудно, так что приходится искать обходные пути.

[PoorFellow Tom]

Тогда, может быть, отрицание критерия Коши?

[provincialka]

А гипотеза какая на каждом промежутке? (четвертый раз спрашиваю).

-- 19.11.2013, 08:40 --

Не надо Коши. Его используют, когда не известен предел последовательности.

Остаток: $|r_n|=\frac{1-\cos\frac xn}{x^3}=\frac{2\sin^2\frac x{2n}}{x^3}$. Дробь стремится к 0 за счет $n$. Значит, ее числитель мал. Что может помешать остатку быть маленькой величиной при фиксированном $n$?

[SpBTimes]

Наверное, надо подсказывать. На первом множестве равномерности не будет, а на втором - всегда пожалуйста.
Теперь подумайте, а что мешает на первом?
И что делать со вторым?

[PoorFellow Tom]

Вообще, я и предположил это, несколько сообщений назад, правда , это голое предположение, исходящее из моего не особо обширного опыта решения последовательностей
Уменьшение знаменателя может быть? Ну то есть на множестве от нуля до единицы , икс будет некая дробь, соответственно , когда мы на нее поделим то она уйдет в числитель и увеличит его??

[provincialka]

Ну, примерно так. Давайте по порядку. Как уже сказал SpBTimes, на множестве $(0,1)$ равномерности не будет. Как это доказать? Кстати, каким определением равномерной сходимости вы пользуетесь?

[PoorFellow Tom]

$f_n(x)\Rightarrow f(x)$ если $\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)\forall n>N(\varepsilon)\forall x\in E:|r_n(x)|<\varepsilon$ Вот такое определение , для док-ва можно взять отрицание определения?

[provincialka]

Да. Сумеете?

[PoorFellow Tom]

Как я понимаю, для док-ва отрицания нужно выбрать $x$ ,принадлежащий множеству, чтобы при подстановки этого икса в остаток он был больше некоего эпсилона, например $x=(1/2)^{n}$, а эпсилон взять за единицу , тогда начиная с некоего номера, остаток будет больше эпсилон

[provincialka]

Ну, если получится это доказать. Можно и не приводить конкретных значений, просто показать, что они существуют.
Как будете доказывать? Зачем мы к синусам переходили?

[SpBTimes]

Вроде бы, привести всегда проще всего. И тут и правда такая последовательность подойдет :)
Только напишите аккуратно отрицание определения.

[PoorFellow Tom]

provincialka , Вы имеете в виду что-то , связанное с периодичностью синуса??

[ewert]

Периодичность совсем не при чём. На первом множестве достаточно заметить, что отклонение каждой функции от предельной попросту неограниченно в нуле (по 1-му замечательному пределу). На втором -- стандартный приём: по каждому эпсилону сначала выбираем границу $M$ для иксов такую, что правее её разность по модулю меньше эпсилона независимо от $n$ (это тривиально просто в силу ограниченности синуса), а потом границу $N$ для $n$ такую, что при всех $n>N$ эта разность меньше эпсилона в силу очевидной оценки для синуса в окрестности нуля.

[SpBTimes]

На втором множестве не проще ли стандартно оценить синус аргументом, а оставшийся в знаменателе $x$ взять наименьшим из множества $E_2$ (тоже оценить дробь).

[PoorFellow Tom]

На втором множестве : $\frac{2\sin^2(\frac{x}{2n})}{x^3}\leqslant\frac{x^2}{2n^2}$ следовательно сходится равномерно