Треугольник на компланарных векторах

[provincialka]

Для выполнения равенства - да, надо поменять. Но зачем нам получать то же самое равенство? Там всего 4 независимых соотношения. Надо, чтобы выполнялось одно из них.

-- 20.11.2013, 02:51 --

Limit79 в сообщении #790595 писал(а):

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} и $-\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{AC}$

Два раза одно и то же. Оставьте первое. Теперь подставьте вместо $\overrightarrow{BC}$ либо $\vec{\beta}$, либо $-\vec{\beta}$. И еще в каждом варианте вместо $\overrightarrow{AC}$ либо $\vec{\gamma}$ либо $-\vec{\gamma}$

[Limit79]

provincialka
А это одно разве не $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ ?

У меня только оно одно

[provincialka]

Есть векторы, приложенные к точкам, "отрезки со стрелками", а есть свободные векторы. Например, вектор $\vec{\beta}$ можно отложить и от точки $B$ и от точки $C$.

[Limit79]

provincialka
$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

$\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

$\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{CA}

Может так?

-- 20.11.2013, 02:58 --

И, если это все таки они, то для того, чтобы эти вектора являлись сторонами треугольника, достаточно выполнения любого одного?

[provincialka]

Еще раз. Векторы, заданные своими концом и началом, не надо переставлять, умножать и т.п. Они связаны одним соотношением, только записанным в равносильной форме. Другое дело заданные в задаче векторы. Как их привязать к вершинам треугольника?

Предположим, что вы составили из данных векторов треугольник, тогда каждый вектор с точностью до знака совпадает с вектором стороны. Например, может оказаться, что вектор $\vec{\beta}$ равен $\overrightarrow{BC}$, а может, что и $-\overrightarrow{BC}$. Обычно свойство сторон треугольника записывают так: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0$. Это верно всегда. А теперь подставьте вместо этих векторов заданные, но с тем или иным знаком. Первый случай: $\vec{\alpha}+\vec{\beta}+\vec{\gamma}=0$.

Но можно и так: $\vec{\alpha}-\vec{\beta}+\vec{\gamma}=0$. Какие еще варианты?

[Limit79]

Хотя, если $\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{BC}$, то $-\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{CB}$, и тогда первое и второе - одно и то же.

-- 20.11.2013, 03:05 --

provincialka
$\{-2;1;-2\} + \{-2;-4;4\} + \{4;3;-2\} = \{0;0;0\}$

Этого будет достаточно?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #790603 писал(а):

Хотя, если $\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{BC}$, то $-\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{CB}$, и тогда первое и второе - одно и то же.

Одно и тоже. И поэтому не нужно нам. А разве не может быть $\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{CB}$?

[Limit79]

$\vec{\alpha}+\vec{\beta}+\vec{\gamma}=0$

$\vec{\alpha}-\vec{\beta}+\vec{\gamma}=0$

$\vec{\alpha}+\vec{\beta}-\vec{\gamma}=0$

$\vec{\alpha}-\vec{\beta}-\vec{\gamma}=0$

-- 20.11.2013, 03:09 --

provincialka

А для того, чтобы данные векторы могли быть сторонами треугольника, достаточно соблюдения одного из этих равенств, или всех?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #790603 писал(а):

$\{-2;1;-2\} + \{-2;-4;4\} + \{4;3;-2\} = \{0;0;0\}$

Для этой конкретной задачи - вполне достаточно.
О, уже общие формулы появились! Достаточно одной, две вместе выполняться не могут.

[Limit79]

provincialka
svv
patzer2097
arseniiv

Огромное Вам спасибо за помощь!

-- 20.11.2013, 03:14 --

provincialka
Забыл спросить, в данном случае выполняется неравенство треугольника - можно ли из этого сделать вывод, что данные вектора могут быть сторонами треугольника, или это лишь необходимое условие?

-- 20.11.2013, 03:22 --

provincialka
А не надо ли проверять неравенство треугольника, ведь, например:
$\{1;1;1\} + \{2;2;2\} + \{-3;-3;-3\} = \{0;0;0\}$

Но треугольника они не образуют...

[iifat]

Limit79 в сообщении #790608 писал(а):

Но треугольника они не образуют

Это называется вырожденный треугольник. Как бы и треугольник, но не совсем. Пограничный случай. Вот $\{1;1;1\}, \{2;2;2\} , \{-4;-4;-4\}$ — совсем не треугольник. И равенства из него не составишь.

[provincialka]

Вопрос про вырожденный треугольник, скорее, к автору задачи. Допускает ли он вырожденный случай. Но неравенство треугольника можно не проверять, достаточно проверить коллинеарность векторов. Они коллинеарны только если пропорциональны друг другу.

[svv]

(provincialka)

Вам очень идёт синий цвет. Поздравляю Вас!

[provincialka]

svv в сообщении #790741 писал(а):

(provincialka)

Вам очень идёт синий цвет. Поздравляю Вас!

(Оффтоп)

Спасибо. А надпись потом появится? Или пока испытательный срок?

[Aritaborian]

(provincialka)

Примите и от меня поздравления ;-)
Надпись, я думаю, просто забыли добавить ;-) Она ведь ставится не автоматически, а модератором вручную. И что интересно, не у каждого ЗУ такая надпись есть.