Конденсатор во внешнем электрическом поле

[Cruz]

Привет всем.
Знаю что вопрос избитый, сейчас читаю про диэлектрики и хотелось рассмотреть пару задач.

Допустим у нас есть плоский конденсатор, и он помещен во внешнее однородное электрическое поле, так что линии внешнего поля направлены вдоль обкладок. При этом поле конденсатора гораздо сильнее. Включаем поле и, что произойдет?
Я решаю задачу так: по сути мы имеем диполи распределенные по обкладкам конденсатора с плечом d (зазор в конденсаторе). Внешнее поле толкает заряды в разные стороны (поворачивает диполь). Суммируем геометрически все диполи - получаем, что конденсатор повернется, перпендикулярно линиям внешнего поля, вокруг своего центра.
Замечательно. Теперь внесем внутрь диэлектрик с проницаемостью e. Рассмотрим диэлектрики полярные, неполярные и электролиты.
Допустим полярный диэлектрик. Молекулы развернутся вдоль поля конденсатора, заряд конденсатора увеличится с q1 до e*q1, при этом на поверхности диэлектрика будет заряд (e-1)*q1. Включаем поле и что же происходит, как я понимаю, момент конденсатора увеличится, но повороту конденсатора будет припятствовать момент в диэлектрике. Но ведь заряды распределены по всему объему диэлектрика, а не только на его поверхности, тут я задумался, обнулится ли момент в диэлектрике или итоговый момент окажется таким же как и в случае без диэлектрика?
В случае с не полярным диэлектриком тоже самое, видимо. Но вот с (изолированным тонким слоем)электролитом как я понимаю, весь заряд сосредоточен рядом с обкладками,т.е. получается два последовательных конденсатора, с очень маленьким d2 (толщина изоляции).Внутренние моменты (электролита) обнулятся и конденсатор будет поворачиваться все с тем же плечом d и зарядами e*q1?

Хотелось бы поподробнее узнать про полярный диэлектрик, как расчет изменится в случае если поле не однородное, ослабевает по направлению от одной обкладки к другой.

Большое спасибо.

[Munin]

В общем, конденсатор с диэлектриком будет поворачиваться точно так же, как и конденсатор без диэлектрика. Тем более это не зависит от природы диэлектрика.

[Cruz]

Т.е. если я хочу рассмотреть движение конденсатора с диэлектриком в неоднородном поле, я могу считать заряд конденсатора с учетом диэлектрика, но при этом продолжать рассматривать силы действующие на него, как на обычный диполь?
Ну допустим в втягивание в неоднородном поле, или поворот ?

[Munin]

Вы можете рассматривать поле в диэлектрике за счёт поля конденсатора, и поле в диэлектрике за счёт внешнего поля. И потом сложить их. По принципу суперпозиции получится ровно то, что будет реально. (Принцип суперпозции не работает для нелинейных диэлектриков, но вряд ли вам нужен этот случай.)

[Cruz]

Спасибо за ответ, я наконец-то смог снова сеть за расчеты, правильно ли я считаю

Допустим у нас есть внешнее электрическое поле направленное вдоль оси x, допустим в рассматриваемой области оно ослабевает по закону $ E = E_0/x $, т.е. предположим, что оно меняется только вдоль оси x. Далее возьмем плоский конденсатор c площадью обкладок S, координаты x1,x2,x3,x4 и.т.д всего N обкладок, заряды q на них разумеется чередуются. Между обкладками диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$. Найти результирующую силу.

Результирующая сила будет равна силе действующей на диэлектрик плюс силе на обкладки.
На обкладки будет действовать сила $F=E_0q/x_1-E_0q/x_2+ ... $

Силы действующие на диэлектрик будет вызвана поляризацией диэлектрика соответственно в диэлектрике появятся поверхностный заряд $\sigma$ослабляющий поле E в $\varepsilon$ раз. Здесь я не знаю, как поступит с градиентом потому просто беру значение поля в середине диэлектрика. Получается $E_0/x\varepsilon=\sigma/2\varepsilon_0$. Тогда $\sigma =2\varepsilon_0E_0/x\varepsilon $. Далее получается $ F=E_0S\sigma/(x_1+d)-E_0S\sigma/(x_2-d)+...$, где d - это некоторое небольшое смещение относительно положение обкладок конденсатора.

Ну вот собственно, все складываем и получается ответ. Так или нет?

[DimaM]

Cruz в сообщении #788829 писал(а):

Допустим у нас есть внешнее электрическое поле направленное вдоль оси x, допустим в рассматриваемой области оно ослабевает по закону $ E = E_0/x $, т.е. предположим, что оно меняется только вдоль оси x.

Это означает, что в данной области есть постоянная ненулевая плотность объемного заряда.

[Cruz]

DimaM в сообщении #788866 писал(а):

Cruz в сообщении #788829 писал(а):

Допустим у нас есть внешнее электрическое поле направленное вдоль оси x, допустим в рассматриваемой области оно ослабевает по закону $ E = E_0/x $, т.е. предположим, что оно меняется только вдоль оси x.

Это означает, что в данной области есть постоянная ненулевая плотность объемного заряда.

Хмм, да, верно. Хорошо пусть в качестве источник поля будет длинный цилиндр, лини напряженности расходятся радиально. Пусть ось цилиндра лежит точно на оси симметрии конденсатора (оси x). Тогда условия останутся примерно теми же.

[DimaM]

Cruz в сообщении #788876 писал(а):

Тогда условия останутся примерно теми же.

На диэлектрик в неоднородном поле действует сила $\frac{\varepsilon}{8\pi}\nabla E^2$ (в СГС). Это на единицу объема, дальше надо по объему проинтегрировать.

[Cruz]

Я очень ценю потраченное вами на мой вопрос время , но я вот читаю про поле в диэлектриках и до меня видимо не все доходит
Давайте рассмотрим поле в описанном выше эксперименте.

1) как мы определяем поле. По силе действующей на точечный заряд, поместим его между обкладок конденсатора. На него будет действовать сумма сил от поля конденсатора и цилиндра, поскольку принцип суперпозиции применим. Если это верно идем дальше.

2) во внешнем поле диэлектрик поляризуется, допустим не будем рассматривать тензоров поляризации, во книжках говорят, что это сложно. Допустим все линейно (хотя признаться меня интересуют сигнетоэлектрики и, вообще, вещества с большой поляризацией). Далее на получившиеся диполи действует сила $F=Eq$, именно поэтому в формуле $\frac{\varepsilon}{8\pi}\nabla E^2$ стоит градиент квадрата. Если это верно идем дальше.

3) получается $ \nabla( (E(x)+Const)^2 ) $, где Const - однородное поле конденсатора. Даже чисто интуитивно, все-таки, если мы включим однородное поле, то оно будет поворачивать диполи, на это будет тратиться энергия, и градиентное внешнее поле тоже это будет делать, поворачивать, т.е. можем просто просуммировать, но далее градиентное поле будет действовать на все получившиеся диполи (действие однородного нулевое ).

В каком пункте я не прав?

[DimaM]

Cruz в сообщении #790242 писал(а):

В каком пункте я не прав?

Вы бы формулки написали: поле такое-то, заряды такие-то, сила такая-то. Пока формул нет, трудно обсуждать.

[Munin]

Cruz в сообщении #790242 писал(а):

как мы определяем поле. По силе действующей на точечный заряд

Стоп, стоп, стоп. Начать надо с того, что как это сила действует на заряд в толще диэлектрика?

И вот тут оказывается, что есть два технических способа измерить эту силу (на самом деле, больше, но два предельных случая дают хороший физический смысл). Один из них даёт величину $\mathbf{E},$ другой - $\mathbf{D}.$

[Cruz]

Так, собираем все вместе.

Цилиндр создает какое-то поле. На некотором удалении от него находится плоский конденсатор. Для простоты , я думаю, можно принять площадь обкладок очень большой по отношению к цилиндру, обкладки параллельны оси цилиндра. Пусть к примеру поля в конденсаторе и от цилиндра направлены в одну сторону, т.е. проекции на ось X суммируются. В конденсаторе находится диэлектрик. Найти результирующую силу действующую на конденсатор.

Ну с обкладками более менее все понятно берем элемент поверхности, берем расстояние и интегрируем. По поверхности для каждой обкладки.

Собственно, проблема топика в диэлектрике. Чтобы начать считать нужна формула, с этим и проблема.

Спасибо DimaM, за точную формулу, у Фейнмана просто сказано, что сила пропорциональна градиенту квадрата, и точка. А если точно посчитать, то все рассматривают втягивание диэлектрика в конденсатор, что мне не сильно помогает.

Я считаю, хотя видимо я неправ итоговая формула для расчета диэлектрика, для элемента объема должна быть $ \frac{\varepsilon}{8\pi}$ \nabla( (E(x)+Const)^2 ) $ Ну и так по всему объему диэлектрика. Const - поле конденсатора.

На счет способов измерения поля, да должно быть их много, просто я представляю себе как сумма полей поляризует диэлектрик, и у меня получаются такие вот умозаключения. Т.е. поляризуют оба поля, а градиент только от поля цилиндра.

Мне хотелось бы не просто готовое решение, а наглядно представить как получается.

[DimaM]

Cruz в сообщении #790256 писал(а):

Я считаю, хотя видимо я неправ итоговая формула для расчета диэлектрика, для элемента объема должна быть $ \frac{\varepsilon}{8\pi}$ \nabla( (E(x)+Const)^2 ) $ Ну и так по всему объему диэлектрика. Const - поле конденсатора.

Поскольку внешнее поле неоднородно, на обкладки также будут действовать разные силы.

[Cruz]

DimaM в сообщении #790265 писал(а):

Cruz в сообщении #790256 писал(а):

Я считаю, хотя видимо я неправ итоговая формула для расчета диэлектрика, для элемента объема должна быть $ \frac{\varepsilon}{8\pi}$ \nabla( (E(x)+Const)^2 ) $ Ну и так по всему объему диэлектрика. Const - поле конденсатора.

Поскольку внешнее поле неоднородно, на обкладки также будут действовать разные силы.

Да верно, но в случае цилиндра, на единицу высоты, для каждой пластины действующее значение поля E можно выразить через угол между радиус-вектором до элемента поверхности и нормалью обкладки, там я вроде посчитал.
У меня непонимание именно с диэлектриком поэтому решил спросить, в начале дискуссии было сказано, что я могу рассматривать независимо два поля, а потом сложить. Так как внутри конденсатора сумма сил от поля обкладок нулевая, то остается только внешнее поле цилиндра.
С другой стороны, чисто математически, под градиентом находится квадрат, а значит если сложить сначала оба электрических поля и возвести в квадрат, а потом взять производную, это не тоже самое, что взять производную только от внешнего поля.

[DimaM]

Cruz в сообщении #790280 писал(а):

У меня непонимание именно с диэлектриком поэтому решил спросить, в начале дискуссии было сказано, что я могу рассматривать независимо два поля, а потом сложить. Так как внутри конденсатора сумма сил от поля обкладок нулевая, то остается только внешнее поле цилиндра.
С другой стороны, чисто математически, под градиентом находится квадрат, а значит если сложить сначала оба электрических поля и возвести в квадрат, а потом взять производную, это не тоже самое, что взять производную только от внешнего поля.

На пальцах, сила пропорциональна произведению диполя на градиент поля. Диполь задается суммарным полем, поэтому именно оно должно стоять.
Еще на границах диэлектрика будут наводиться поляризационные заряды, надо силу на них тоже учесть.
Правильнее всего, видимо, найти поле снаружи, и дальше через тензор натяжений Максвелла силу считать. Но это надо поле искать.