Об одной гипотезе для простых чисел

[shwedka]

vicvolf в сообщении #789367 писал(а):

shwedka в сообщении #789347 писал(а):

Ой, а просветите, плиз, а есть ли вероятностные меры, кроме конечных!

Постараюсь ответить на Ваш экзаменационный вопрос
Кроме вероятностной меры на конечном пространстве событий, для которой выполняется свойство конечной аддитивности и к которой относится рассматриваемая плотность последовательности на конечном интервале натурального ряда, существует вероятностная мера на бесконечном пространстве событий, для которой выполняется свойство счетной аддитивности.

Вы на экзаменационный вопрос не ответили. Двойка.
Вероятностные меры характеризуются тем, что мера всего пространства равна единице.
Поэтому никаких вероятностных мер, кроме конечных, не бывает.

Конечность пространства событий и конечность меры-понятия не связанные между собой. Путать их нехорошо.

Путаница в понятиях и в терминологии ведет к утрате смысла Ваших рассуждений.
Пока не наведете в них порядок, содержательных результатов не ждите.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #789423 писал(а):

Вероятностные меры характеризуются тем, что мера всего пространства равна единице.
Поэтому никаких вероятностных мер, кроме конечных, не бывает.

Другим названием вероятностной меры является нормированная мера, поэтому для любой вероятностной меры выполняется свойство, что мера всего пространства событий равна 1.

Цитата:

Конечность пространства событий и конечность меры-понятия не связанные между собой. Путать их нехорошо.

Отличительным для вероятностной меры является конечность и бесконечность пространства событий, так как для вероятностной меры конечного пространства событий требуется выполнение свойства - конечной аддитивности, а для вероятностной меры бесконечного пространства требуется выполнение свойства - счетной (сигма) аддитивности.
Для плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на интервале натурального ряда выполняется только конечная аддитивность, поэтому для нее существует только вероятностная мера на конечном пространстве событий. Чтобы выделить эту вероятностную меру я называю ее конечной в отличии от вероятностной меры на бесконечном пространстве событий, которую я называю бесконечной.

Цитата:

Путаница в понятиях и в терминологии ведет к утрате смысла Ваших рассуждений.

Я не путаю понятия. Для плотности целочисленной строго возрастающей последовательности я доказал ранее все три свойства вероятностной меры (неотрицательность, конечную аддитивность и нормировку).

[shwedka]

Цитата:

Чтобы выделить эту вероятностную меру я называю ее конечной в отличии от вероятностной меры на бесконечном пространстве событий, которую я называю бесконечной.

Вот-вот! пример Вашей путаницы. Другой пример - пропуск слова 'порядка'.

Цитата:

Для плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на интервале натурального ряда выполняется только конечная аддитивность, поэтому для нее существует только вероятностная мера на конечном пространстве событий.

И вовсе не потому, а поскольку конечный интервал натурального ряда-конечное множество.
Чем дальше, тем больше у ВАс путаницы.
Попытайтесь переписать заново ВАше сочинение, с точным употреблением всех понятий и терминов.
без оговорок типа 'пишу одно, а имею в виду другое'

[vicvolf]

shwedka в сообщении #789539 писал(а):

Цитата:

Цитата:

Для плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на интервале натурального ряда выполняется только конечная аддитивность, поэтому для нее существует только вероятностная мера на конечном пространстве событий.

И вовсе не потому, а поскольку конечный интервал натурального ряда-конечное множество.

Обратите внимание на подчеркнутое - я не указывал здесь на конечность интервала. Конечная аддитивность выполняется, как для конечного, так и бесконечного интервала.
Вообще построение вероятностного пространства начинается с определения алгебры событий. Алгебра событий должна удовлетворять трем свойствам. Одним из них является наличие дополнения (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие).
Например, для асимптотической плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда:1,2,...отсутствует последовательность дополняющая натуральный ряд, поэтому нельзя определить алгебру событий и нет смысла говорить о выполнении свойств вероятностной меры. На бесконечном интервале натурального ряда: 2,3,...существует последовательность дополняющая последовательность: 2,3,..., состоящая из одного элемента - 1.
Я ранее писал, что для того, чтобы целочисленные строго возрастающие последовательности определяли алгебру событий на конечном интервале натурального ряда, необходимо их дополнить последовательностями не содержащими не одного элемента и содержащими один элемент на данном интервале натурального ряда. Только для данного пространства событий можно построить вероятностное пространство на конечном интервале натурального ряда. Хочу отметить, что количество последовательностей не содержащих не одного элемента на ограниченном интервале натурального ряда бесконечно, поэтому размерность пространства событий также бесконечна. Так что конечный интервал натурального ряда не порождает конечность пространства событий.

[shwedka]

Цитата:

Хочу отметить, что количество последовательностей не содержащих не одного элемента на ограниченном интервале натурального ряда бесконечно, поэтому размерность пространства событий также бесконечна. Так что конечный интервал натурального ряда не порождает конечность пространства событий.

Полная путаница.
Найдите бесконечное пространство событий на интервале из 10 первых натуральных чисел.

[shwedka]

shwedka в сообщении #789863 писал(а):

Например, для асимптотической плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда:1,2,...отсутствует последовательность дополняющая натуральный ряд, поэтому нельзя определить алгебру событий и нет смысла говорить о выполнении свойств вероятностной меры.

Вот-вот, Именно, нельзя!
А Вы пытаетесь на многих уже страницах ввести на последовательностях что-то,
что Вы выдаете за вероятностную меру.

[Руст]

Ему уже много раз указывали на бредовость использования "вероятностной меры".
Во первых $\sum_{k=2}^x \frac{1}{ln k}\approx li(x)$ больше 1уже при малых х, т.е. вероятностного пространства ему не показать, где сумма вероятностей натуральных чисел быть простым равна 1. Соответственно предлагалось пользоваться понятием плотности простых в ряду натуральных.

Во вторых, бредом является конечная аддитивность, предполагающая разбиение на произвольные конечные непересекающиеся множества.
Возьмем и исключим все простые в интервале от 2 до х. В оставшихся интервалах простых нет, а ожидаемое количество все равно примерно $li(x)$,
так как их (исключенных натуральных) мало по сравнению с х.

В третьих бредом являлось якобы независимость событий.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #789931 писал(а):

shwedka в сообщении #789863 писал(а):

Например, для асимптотической плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда:1,2,...отсутствует последовательность дополняющая натуральный ряд, поэтому нельзя определить алгебру событий и нет смысла говорить о выполнении свойств вероятностной меры.

Вот-вот, Именно, нельзя!
А Вы пытаетесь на многих уже страницах ввести на последовательностях что-то,
что Вы выдаете за вероятностную меру.

Читайте внимательно, для асимптотической плотности последовательности, определенной на всем натуральном ряде, нельзя определить алгебру событий, но уже на бесконечном интервале, начинающемся с 2 можно определить алгебру событий.
Я же говорю о вероятностной мере совсем другого объекта - плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на конечном интервале натурального ряда.

[shwedka]

Цитата:

но уже на бесконечном интервале, начинающемся с 2 можно определить алгебру событий.

Алгебру определить можно, но вероятностную меру Вы на этой алгебре не определили.
А если считаете, что определили, не нужно писать новые сообщения, а дайте ссылку на Ваше сообщение, где вы эту меру определили.

vicvolf в сообщении #790051 писал(а):

Я же говорю о вероятностной мере совсем другого объекта - плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на конечном интервале.

И говорите! Попробуйте снова воспроизвести свое 'доказательство' от ноя 13,
но с исправлением всего, на что Вам был указано, без оговорок, умолчаний и недоказанных утверждений.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #790061 писал(а):

А если считаете, что определили, не нужно писать новые сообщения, а дайте ссылку на Ваше сообщение, где вы эту меру определили.

Вероятностную пространство для плотности последовательности на бесконечном интервале, т.е для асимтотической плотности последовательности построить нельзя, так как не выполняется свойство - счетной аддитивности вероятностной меры, необходимое для бесконечного пространства событий. Простой контрпример, подтверждающий это.
Пусть бесконечное пространство событий состоит из одночленных последовательностей: (1),(2),(3),....., покрывающих весь натуральный ряд. Асимптотическая плотность суммы данных последовательностей равна 1, а асимптотическая плотность каждой последовательности в отдельности равна 0, поэтому сумма асимптотических плотностей всех последовательностей также равна 0. Таким образом, счетная аддитивность не выполняется.

[vicvolf]

Руст в сообщении #789952 писал(а):

Ему уже много раз указывали на бредовость использования "вероятностной меры".

Кто в этот раз высказал бредовую мысль - это вопрос. Давайте уберем это слово из лексикона, а то иногда может и бумерангом.....Или без него Вы теряете творческую индивидуальность?

Цитата:

Во первых $\sum_{k=2}^x \frac{1}{ln k}\approx li(x)$ больше 1уже при малых х, т.е. вероятностного пространства ему не показать, где сумма вероятностей натуральных чисел быть простым равна 1.

Здесь надо добавить одно слово и все будет правильно: сумма вероятностей натуральных чисел быть конкретным простым числом равна 1. Я же говорю о вероятности быть любым простым числом из заданного интервала. Это уже совсем разные вещи.
Пусть у Вас есть 10 шаров. Напишите на них числа от 1 до 10 и положите в урну. Будем брать шары из урны наугад. Вероятность взять из урны первый шар с конкретным натуральным числом от 1 до 10, например с простым числом 7 равна 0,1, но после взятия последнего 10 шара, шар с числом 7 наверняка будет вынут, т.е вероятность этого события равна 1.
Когда разговор идет о том, чтобы вынуть наугад первый шар с любым простым числом от 1 до 10, а не конкретным, то вероятность этого события уже равна 0,4 (а не 0,1), так как это совсем другое событие и противоположным для него является вероятность выбрать первый шар с составным числом с вероятностью 0,6. Сумма 0,4+0,6=1.

[shwedka]

Цитата:

Я же говорю о вероятности быть любым простым числом из заданного интервала.

Говорите, если хотите. Только не отказывайтесь от этого втихаря, как это бывало не раз.

[vicvolf]

Руст в сообщении #789952 писал(а):

$\sum_{k=2}^x \frac{1}{ln k}\approx li(x)$ .

Кстати я доказал это в более общем случае:
Утверждение 4
Пусть дана непрерывная, монотонно-убывающей функция F(x). При этом $\lim \limits_{x \to \infty} {F(X)}=0$.
Тогда $\sum_{i=A}^{N}{F(i)}-\int_{A}^{N}{F(t)dt}=C + O(F(N)),$
где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=A}^{n}{F(i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}$.

Для оценки постоянной С сверху справедливо:
Утверждение 5
Пусть на интервале [$A,\infty$) существует функция F(x), обладающая следующими свойствами:
1. $\lim \limits_{x \to \infty} {F(x)}=0.$
2. Имеет производные нужного порядка.
3. $F^{(2k-1)}(x)<0$.
4. $|\frac {B_{2k}(2K)!F^{(2k+1)}(A)} {B_{2k+2}(2k+2)!F^{(2k-1)}(A)}|<1,$ где $B_n$ - n-ое число Бернулли.
Тогда $C\leq (F(A)/2+|F'(A)|)/12,$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=A}^{n}{F(i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$

И в частности справедлива следующая оценка С для функции $F(X)=1/\ln^k(x)$:
Утверждение 6
Для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ на интервале [$A,\infty$) выполняется следующая оценка:
$C<0,6202F(k+1),$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=A}^{n}{F(i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$

Для $F(x)=1/\ln(x)$ значение С=0,85...

Доказательство этих утверждений здесь topic62088-105.html
в сообщениях от 26.12.2012, 27.12.2012, 03.01.2013, 04.01.2013, 08.01.2013, 11.01.2013.

[vicvolf]

Руст в сообщении #789952 писал(а):

Во вторых, бредом является конечная аддитивность, предполагающая разбиение на произвольные конечные непересекающиеся множества.
Возьмем и исключим все простые в интервале от 2 до х. В оставшихся интервалах простых нет, а ожидаемое количество все равно примерно $li(x)$, так как их (исключенных натуральных) мало по сравнению с х.

Например, последовательности простых и составных чисел на ограниченном интервале не разбивают интервал на конечные непересекающие множества.
Возьмем интервал [1,11), тогда целочисленная строго возрастающая последовательность простых чисел $f(n)=(2,3,5,7)$, а последовательность составных чисел $g(n)=(1,4,6,8,9,10)$. Последовательность $f \cup g=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$. Как мы видим, между членами последовательности составных чисел 4 и 10 находятся простые числа 5, 7 и наоборот между членами последовательности простых чисел 2 и 7 находятся составные числа 4, 6.
Плотности последовательностей соответственно равны: $P(f,1,11)=4/10$, $P(g,1,11)=6/10$, $P(f \cup g,1,11)=10/10=1$.
Главное, чтобы не было пересечения последовательностей f(n), g(n), тогда выполняется конечная аддитивность плотностей указанных последовательностей: $P(f \cup g,1,11)=P(f,1,11)+P(g,1,11)=4/10+6/10=1$.