Диофантово уравнение a^2+b^2+c^2=d^2

[Inspektor]

Подскажите пожалуйста, как решить диофантово уравнение $a^2+b^2+c^2=d^2$. В сети легко найти итоговые формулы для генерации пифагоровых параллелепипедов, но решения я так и не нашёл. Я уже на двух форумах спрашивал, везде пока молчат .

[Бодигрим]

На http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanQuadruple.html есть пара слов и ссылка на Mordell, L. J. Diophantine Equations. London: Academic Press, 1969. Искать через poiskknig.ru. Интересующий вас вопрос обсуждается в chapter 3.

[V.V.]

Острик, Цфасман. "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые". М.: МЦНМО, 2001.

Брошюрки серии "Библиотека "Математическое просвещение"" выложены, например, на сайте www.mccme.ru.

[Inspektor]

Огромное спасибо, очень помогли! Книга Острика теперь стала настольной, очень понравилась.

[individa]

Привет Всем!
Вообще говоря даже известные формулы Пифагоровых троек должны выглядеть немного по другому, но я касаться их не буду. Напишу формулы решения этого уравнения, вернее так как на самом деле они выглядят. Думаю это интересно будет. Заодно на Техе по тренируюсь писать.
Решения уравнения $X^2+Y^2+Z^2=D^2$ можно задать через любые целые числа: $a,b,p,s$
И формулы решения имеют такой вид:

$X=2a^2s^2-2abs^2\pm2apbs$

$Y=2a^2s^2+2abs^2\pm2abps$

$Z=p^2b^2-a^2s^2+s^2b^2\pm2apbs$

$D=p^2b^2+3a^2s^2+s^2b^2\pm2apbs$

[Andrey A]

Inspektor в сообщении #143738 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как решить диофантово уравнение $a^2+b^2+c^2=d^2$. В сети легко найти итоговые формулы для генерации пифагоровых параллелепипедов, но решения я так и не нашёл. Я уже на двух форумах спрашивал, везде пока молчат .

Если сумму четырех квадратов не считать за проблему, то можно так:

$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(2ac\pm 2bd)^2+(2ad\mp 2bc)^2$

Или для нечетных аргументов:

$\left( \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\right)^2=\left( \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4}\right)^2+\left( \frac{ac\pm bd}{2}\right)^2+\left( \frac{ad\mp bc}{2}\right)^2$

[Andrey A]

По поводу решения $X^2+Y^2+Z^2=T^2$, приведенного у Острика, Цфасмана. Привожу дословно:

${\tiny X = 2kln^2r, Y = 2l^2mnr, Z = (k^2n^2 +l^2m^2 -l^2n^2)r, T = (k^2n^2+ l^2m^2+ l^2n^2)r.}$ Здесь k, I, m, n — целые числа, r — подходящее рациональное число, т. е. такое, что числа X, У, Z, Т являются целыми.

Не понимаю, как это может описывать все решения. Возьмем $27^2=22^2+14^2+7^2.$ Полагая $r=1$ получаем

$\begin{cases}2kln^2=22 \\ 2l^2mn=14\end{cases}$ откуда $n=l=1$. Тогда $\begin{cases}k^2+m^2+1=27 \\ k^2+m^2-1=7 \end{cases}$ Противоречие. Каково же тогда $r$?

Вообще говоря, метод эллиптических кривых при всех достоинствах сам по себе ничего не решает, а только "тиражирует" некоторое пусть тривиальное решение. Если же исходить из другого, где уверенность что результаты совпадут?

[Andrey A]

Всё, спасибо, разобрался. В данном случае $k=11, m=7, l=n=10; r=\frac{1}{1000}.$
И в тыщу раз сложнее, но красиво.