Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое

[hjury]

но я еще пока за них не брался

[ex-math]

В в) ответ $\ln(\pi\sqrt5)+i(2\pi-\arctg2)$?
Или, если с тем же глюком, $\ln(\pi\sqrt2)+\frac{7\pi i}4$?

[hjury]

С глюком

-- 18.11.2013, 00:18 --

Точнее то что вы написали с глюков это для г

[ex-math]

А в г) $2\pi+\arctg2$ или же $\frac{9\pi i}4$?
Значит, составителей переклинило и они вместо $2\pi i$ всюду писали $\pi i$. Или смотрели функцию $\ln(\frac12\ln z)$ и точку $e^{2\pi}$.

[hjury]

В г) ответ $\ln(\pi\sqrt2)+\frac{7\pi i}4$

[ex-math]

Очень странно. Что-то здесь конкретно напутано. Попробуйте сами посмотреть, как выглядят образы этих кривых при отображении $\ln z$ -- поймете.
А что за задачник? Если известный, то может известны и ляпы в нем?

[hjury]

Цитата:

А что за задачник? Если известный, то может известны и ляпы в нем?

Евграфов "Сборник задач по теории аналитических функций"

[ex-math]

Сейчас скачал издание 1972 года. Там действительно функция $\ln\ln\sqrt z$ в точке $e^{2\pi}$.
Но надо все переделывать заново, потому что добавляется еще корень.

[hjury]

ex-math в сообщении #789916 писал(а):

Сейчас скачал издание 1972 года. Там действительно функция $\ln\ln\sqrt z$ в точке $e^{2\pi}$.
Но надо все переделывать заново, потому что добавляется еще корень.

Опечатка, так опечатка, прямо с большой буквы, в любом случае спасибо

-- 18.11.2013, 01:04 --

Тогда действительно все более менее легко, при обходе у корня меняется знак и мы получаем наши искомые $\pi i$

[hjury]

($\ln{z})^{\frac{1}{3}}$
по контуру

только там вместо 4 - $e$. Я рассмотрел образ кривой при отображении $\ln{z}$ и получил, что после обхода контура будет $\ln{z}+2\pi i$ однако мне кажется это неверным

[ex-math]

Я думаю, это не то чтобы опечатка, а просто при подготовке книги задачу подредактировали, а ответ поменять забыли.

В последней задаче отправляемся от значения $1$?
Верно, конец образа кривой будет в точке $1+2\pi i$. При этом этот образ делает вокруг нуля один виток в положительном направлении. Значит каково будет значение кубического корня?

[hjury]

В последней вот эта кривая, только вместо точки отправки 4, точка $e$. Значит значение корня будет $e^{\frac{2\pi i}{3}}$

[ex-math]

Я имею в виду в исходной точке $(\ln e)^{\frac13}=1$?

Да, будет главное значение $(1+2\pi i)^{\frac13}$, умноженное на $e^{\frac{2\pi i}3}$.

[hjury]

Цитата:

Я имею в виду в исходной точке $(\ln e)^{\frac13}=1$

Да именно так

-- 18.11.2013, 23:43 --

Цитата:

При этом этот образ делает вокруг нуля один виток в положительном направлении.

Я почему то этого не вижу

[ex-math]

Постройте этот образ "по точкам": вещественная часть логарифма -- это логарифм модуля, мнимая часть логарифма -- аргумент. Петля вокруг единицы на исходной кривой и даст этот виток.