Нет факториалам!

[Ktina]

Существует ли такое бесконечное множество натуральных чисел, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является факториалом натурального числа?

[Руст]

например $a_n=(n+1)!+1$.

[Ktina]

Руст в сообщении #789554 писал(а):

например $a_n=(n+1)!+1$.

Скажу честно, не понимаю, почему Ваше множество обязано удовлетворять условию задачи. Пожалуйста, просветите.
У меня есть более, как мне кажется, простое решение, которое также подходит и к продолжению исходной задачи:

Существует ли такое бесконечное множество чётных натуральных чисел, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является факториалом натурального числа?

[gris]

Тут никак нельзя приплести факториальную позиционную систему?
Числа вида $10002, 10000002,100000000000002$ все чётные, а сумма двоек не сможет переползти в старший разряд

[Ktina]

gris в сообщении #789586 писал(а):

Тут никак нельзи приплести факториальную позиционную систему?

Можно, скорее всего. Вопрос в другом. Как бы пятиклассник решил эти две задачи (исходную и её продолжение)?
Моё решение уж точно доступно пятикласснику.

[gris]

Может быть можно рассуждать как бы по индукции. Допустим, у нас есть несколько таких чисел. Посчитаем их сумму и добавим к множеству факториал этого числа, увеличенный на два. И тогда в качестве исходного берём $4$. Добавляем $26$. Добавляем $30!+2$.

[Ktina]

gris в сообщении #789586 писал(а):

Числа вида $10002, 10000002,100000000000002$ все чётные, а сумма двоек не сможет переползти в старший разряд

Вы довольно близки Но можно ещё проще.

-- 17.11.2013, 11:24 --

gris в сообщении #789588 писал(а):

Может быть можно рассуждать как бы по индукции. Допустим, у нас есть несколько таких чисел. Посчитаем их сумму и добавим к множеству факториал этого числа, увеличенный на два. И тогда в качестве исходного берём $4$. Добавляем $26$. Добавляем $30!+2$.

Вот уж так пятиклассники точно не стали бы рассуждать.

[gris]

Что-нибудь с делимостью?

[Ktina]

gris в сообщении #789591 писал(а):

Что-нибудь с делимостью?

Не совсем. Ладно, не буду резину тянуть , а то порвётся:

10, 100, 1000, 10000, ...
Сумма любых $n\in\mathbb N$ таких чисел будет состоять только из 0 и 1 и оканчиваться на 0. Но фракталы, оканчивающиеся на 0, имеют последнюю ненулевую цифру чётной!

[Руст]

Ktina в сообщении #789583 писал(а):

Руст в сообщении #789554 писал(а):

например $a_n=(n+1)!+1$.

Скажу честно, не понимаю, почему Ваше множество обязано удовлетворять условию задачи.

Пусть $\sum_{k=1}^n a_k<a_{n+1}-1$. Тогда любая конечная сумма членов последовательности находится в интервале
$a_{n}\le S\le 2a_n-2$, где $a_n$ максимальное из членов составляющих конечную сумму.
В нашем случае $a_n=(n+1)!+1$ сумма не дотягивает до $(n+2)!>2(n+1)!$, но больше $(n+1)!$.

[gris]

Ktina, очень красиво! И пятиклассникам как раз.

[Ktina]

Руст в сообщении #789594 писал(а):

Пусть $\sum_{k=1}^n a_k<a_{n+1}-1$. Тогда любая конечная сумма членов последовательности находится в интервале
$a_{n}\le S\le 2a_n-2$, где $a_n$ максимальное из членов составляющих конечную сумму.
В нашем случае $a_n=(n+1)!+1$ сумма не дотягивает до $(n+2)!>2(n+1)!$, но больше $(n+1)!$.

Красиво! А как моё оцените?

-- 17.11.2013, 11:48 --

gris в сообщении #789598 писал(а):

Ktina, очень красиво! И пятиклассникам как раз.

Спасибо

[Ktina]

Чем-то напомнила мне задачу "Нет квадратам!"