Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое

[ex-math]

Нет, $\ln3$ там нет. У нас квадратный корень при обходе знак поменял.
$(1+\sqrt z)|_\gamma=-1$, $\ln(1+\sqrt z)|_\gamma=\pi i$, $(\ln(1+\sqrt z))^{\frac13}|_\gamma=\sqrt[3]{\pi}e^{\frac{\pi i}6}$.

[hjury]

Попытался разобраться с другим примером и опять впал в ступор
$\ln{\ln{(z)}}$
$(\ln{\ln{(z)}})(e^{\pi})=\ln{\pi}$
Вдоль кривой

Хотел рассмотреть образ кривой при отображении $\ln(z)$
Точку $e^{\pi}$ оно переводит в точку $\pi$, точку $1$ в $0$. Однако, я не понимаю, при обходе этого контура куда мы в итоге приходим, мы выходим из точки $\pi$ и приходим в точку $\pi + 2\pi i$ ?? Я решил так что мы обходим точку нуль один раз и поэтому попадаем на другой лист, но мне кажется что что-то тут неправильно я чего-то не понимаю.

[ex-math]

Эта попроще задача.
Все верно -- мы перешли на следующий лист и пришли в указанную Вами точку.
Полученная кривая не обходит нуль, поэтому для внешнего логарифма у нас один лист.
Конечное значение $\ln(\pi+2\pi i)=\ln(\pi\sqrt5)+i\arctg2$.

[hjury]

ex-math в сообщении #789870 писал(а):

Эта попроще задача.
Все верно -- мы перешли на следующий лист и пришли в указанную Вами точку.
Полученная кривая не обходит нуль, поэтому для внешнего логарифма у нас один лист.
Конечное значение $\ln(\pi+2\pi i)=\ln(\pi\sqrt5)+i\arctg2$.

Проблема в том, что это из задачника и ответ там другой

[ex-math]

И какой же?

-- 18.11.2013, 00:04 --

Ошибиться здесь просто негде.

[hjury]

$\ln(\sqrt{2}\pi)+\frac{\pi i}{4}$

[ex-math]

Это $\ln(\pi+\pi i)$ значит.

-- 18.11.2013, 00:13 --

Но приращение $\arg z$ вдоль кривой равно $2\pi$ -- без вариантов. Так что внутренний логарифм будет $\pi+2\pi i$, со всеми вытекающими. Возможно, ошибка в ответе.

[hjury]

Правда там к заданию приписано условия аля $|z-e|<e^{\pi}-1$ но ведь это все равно роли не играет? Или играет?

[ex-math]

Кривая у Вас была нарисована, или Вы ее нарисовали сами из вот таких условий?

[hjury]

Вот кривая, или это фатально что я перерисовал ее не в виде ломаной?

[ex-math]

Да нет, все нормально. А причем тут дополнительное условие?
Есть другие варианты кривых для этой функции? Можно сверить ответы там.

[hjury]

Та жа кривая, тот же ответ

[ex-math]

Здесь и должен быть тот же ответ.
Я не пойму зачем тут дополнительное условие. Если $\ln\ln e^\pi=\ln\pi$, то что такое вообще $z$?

[hjury]

ex-math в сообщении #789897 писал(а):

Здесь и должен быть тот же ответ.
Я не пойму зачем тут дополнительное условие. Если $\ln\ln e^\pi=\ln\pi$, то что такое вообще $z$?

Оно там просто сбоку приписано

[ex-math]

Есть еще кривые для этой задачи?