2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 13:11 
Аватара пользователя
Нет, $\ln3$ там нет. У нас квадратный корень при обходе знак поменял.
$(1+\sqrt z)|_\gamma=-1$, $\ln(1+\sqrt z)|_\gamma=\pi i$, $(\ln(1+\sqrt z))^{\frac13}|_\gamma=\sqrt[3]{\pi}e^{\frac{\pi i}6}$.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 17:43 
Попытался разобраться с другим примером и опять впал в ступор
$\ln{\ln{(z)}}$
$(\ln{\ln{(z)}})(e^{\pi})=\ln{\pi}$
Вдоль кривой
Изображение
Хотел рассмотреть образ кривой при отображении $\ln(z)$
Точку $e^{\pi}$ оно переводит в точку $\pi$, точку $1$ в $0$. Однако, я не понимаю, при обходе этого контура куда мы в итоге приходим, мы выходим из точки $\pi$ и приходим в точку $\pi + 2\pi i$ ?? Я решил так что мы обходим точку нуль один раз и поэтому попадаем на другой лист, но мне кажется что что-то тут неправильно я чего-то не понимаю.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 22:37 
Аватара пользователя
Эта попроще задача.
Все верно -- мы перешли на следующий лист и пришли в указанную Вами точку.
Полученная кривая не обходит нуль, поэтому для внешнего логарифма у нас один лист.
Конечное значение $\ln(\pi+2\pi i)=\ln(\pi\sqrt5)+i\arctg2$.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 22:43 
ex-math в сообщении #789870 писал(а):
Эта попроще задача.
Все верно -- мы перешли на следующий лист и пришли в указанную Вами точку.
Полученная кривая не обходит нуль, поэтому для внешнего логарифма у нас один лист.
Конечное значение $\ln(\pi+2\pi i)=\ln(\pi\sqrt5)+i\arctg2$.


Проблема в том, что это из задачника и ответ там другой

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 22:55 
Аватара пользователя
И какой же?

-- 18.11.2013, 00:04 --

Ошибиться здесь просто негде.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:06 
$\ln(\sqrt{2}\pi)+\frac{\pi i}{4}$

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:10 
Аватара пользователя
Это $\ln(\pi+\pi i)$ значит.

-- 18.11.2013, 00:13 --

Но приращение $\arg z$ вдоль кривой равно $2\pi$ -- без вариантов. Так что внутренний логарифм будет $\pi+2\pi i$, со всеми вытекающими. Возможно, ошибка в ответе.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:17 
Правда там к заданию приписано условия аля $|z-e|<e^{\pi}-1$ но ведь это все равно роли не играет? Или играет?

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:21 
Аватара пользователя
Кривая у Вас была нарисована, или Вы ее нарисовали сами из вот таких условий?

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:30 
Изображение
Вот кривая, или это фатально что я перерисовал ее не в виде ломаной?

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:33 
Аватара пользователя
Да нет, все нормально. А причем тут дополнительное условие?
Есть другие варианты кривых для этой функции? Можно сверить ответы там.

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:37 
Изображение

Та жа кривая, тот же ответ

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:43 
Аватара пользователя
Здесь и должен быть тот же ответ.
Я не пойму зачем тут дополнительное условие. Если $\ln\ln e^\pi=\ln\pi$, то что такое вообще $z$?

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:51 
ex-math в сообщении #789897 писал(а):
Здесь и должен быть тот же ответ.
Я не пойму зачем тут дополнительное условие. Если $\ln\ln e^\pi=\ln\pi$, то что такое вообще $z$?

Оно там просто сбоку приписано

 
 
 
 Re: Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое
Сообщение17.11.2013, 23:56 
Аватара пользователя
Есть еще кривые для этой задачи?

 
 
 [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group