Диффур

[vlad_light]

Что это за задачка, где почитать о её решении?

$$-\Delta u+(2-|x|)u=f(x), |x|<1$$

[Oleg Zubelevich]

$x$ какому множеству принадлежит? (есть подозрение, что $\dim x=1$)

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

И зачем тогда "вычурный" набла квадрат ставить? Не проще ли уж сразу производную написать

vlad_light
В случае, если $\[u = u(x,y)\]$, такие уравнения (вида $\[a(x)\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + b(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + c(x)u = - \varphi (x,y)\]$, если я не ошибаюсь) разобраны в справочнике Полянина по линейным УМФ.

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #789404 писал(а):

разобраны в справочнике Полянина по линейным УМФ.

Про "разобрано" глупо говорить пока не поставлена краевая задача

если, например, речь идет о нулевых условиях Дирихле, то задача решается вполне стандартно с помощью теоремы Рисса, (если по крайней мере $f\in H^{-1}(\{|x|<1\})$)

[vlad_light]

Условия могут быть такими?

$$ \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow \nu}\bigg |_{x_1 > 0, |x|=1}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow \nu}+u\bigg |_{x_1 < 0, |x|=1}=0$$

Скорее всего $\dim x>1$, потому что в условиях выделено $x_1$. Похоже на задачу Неймана. Можете "решебник" подсказать?

[Ms-dos4]

vlad_light
Я что то не понял, то у вас функция$\[u(x,?)\]$ , а то вы говорите что $\[\dim x > 1\]$. Или вы имеете ввиду, что $\[x = ({x_1},{x_2},...)\]$?
Граничные условия можно задавать по разному(хоть разбивать границу на части и на одном куске задавать например по Дирихле, на другом по Нейману), но мы пока до конца не выяснили что у вас за функция $\[u\]$. А пока мы не знаем на чём она задана, говорить о граничных условиях смысла нет. Вы лучше полностью приведите задание, и откуда оно взято.
P.S.А справочник я вам уже указал. Причём в нём есть и "общая теория".

[Oleg Zubelevich]

vlad_light в сообщении #789436 писал(а):

Скорее всего $\dim x>1$, потому что в условиях выделено $x_1$. Похоже на задачу Неймана. Можете "решебник" подсказать?

о решебнике и речи быть не может, задача не классическая и условия, думаю, это не все. Это надо сперва прояснить точную постановку, а потом брать и решать самому.

Возможно, будет полезна книжка
R. E. Showalter Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations

она есть в интернете в свободном доступе

[vlad_light]

Спасибо, я как раз Ваш справочник и читаю
Да, я имел ввиду, что $x = ({x_1},{x_2},...)$. Задание попросили решить, а откуда оно взято -- не знаю.
Скорее всего, $u$ -- некоторая функция, которая внутри единичной сферы должна удовлетворять уравнению, а на границе -- граничным условиям.
Как я понял, поскольку у нас 2 граничных условия, то мы можем решить две задачи (с разными гр. усл.) и записать ответ, как объединение решений для каждого из условий (при соответствующих $x_1$).
В учебнике (на 39 стр.) нашёл следующее:

$$L_x[u]=\Delta u (x)+(|x|-2)u(x),\qquad |x|<1$$

$$\Gamma ^{(1)} _x[u]=\frac {\partial u}{\partial M_x}(x),\qquad\Gamma ^{(2)} _x[u]=\frac {\partial u}{\partial M_x}(x) +u(x), \qquad |x|=1$$

Тогда

$$u(x)=\int _{|x|<1}f(y)G(x,y)dV_y$$

где

$$G(x,y)=\sum\limits _{k=1}^\infty \frac {u_k(x)u_k(y)}{\| u_k\| ^2\lambda _k}$$

$u_k$ и $\lambda _k$ определяются из уравнений:

$$L_x [u]+\lambda u=0$$

$$\Gamma _x[u]=0, \qquad |x|=1$$

Пока читаю дальше... Вот эти $u_k$ и $\lambda _k$ можно явно найти для данной задачи?

[Oleg Zubelevich]

а это ничего, что такое "решение" не единственно?

[vlad_light]

Цитата:

а это ничего, что такое "решение" не единственно?

Хотя бы одно найти Можете помочь с нахождением?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #789489 писал(а):

Можете помочь с нахождением?

Нет уж увольте, я думал, что у Вас серьезный вопрос, а по таким "задачам" здесь Ms-dos4 специалист .

[vlad_light]

(Оффтоп)

Цитата:

Нет уж увольте, я думал, что у Вас серьезный вопрос

Простите, но у меня для Вас вряд ли могут быть серьёзные вопросы Надеюсь, Ms-dos4 поможет.

[Ms-dos4]

vlad_light
Так. Ну во первых определитесь, функция $\[u\]$ зависит от скольких аргументов?

[vlad_light]

$u=u(x), x\in\mathbb R^n$, т.е. от 1 аргумента.

[Ms-dos4]

vlad_light
Не верю, что бы в качестве учебной задачи дали уравнение c неизвестной функцией, зависящей от n переменных