ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
(Степень n=3)
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:

(1)
где

- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Рассмотрим случай:

.
Уравнение (1) запишем следующим образом:

(2)
Возьмем трином третей степени

и разложим его в сумму одночленов по известной формуле. В результате получим:
![$[(a+b)-c]^3=(a^3+b^3-c^3)+3a^2b+3ab^2- 6abc-3a^2c+3ac^2-3b^2c+3bc^2$ $[(a+b)-c]^3=(a^3+b^3-c^3)+3a^2b+3ab^2- 6abc-3a^2c+3ac^2-3b^2c+3bc^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/f/ccf46bf711f12754c0ac2a80c768bdd782.png)
(3)
После преобразования получим:
![$[(a+b)-c]^3=(a^3+b^3-c^3)+3(a^2b+ab^2-2abc -a^2c+ac^2-b^2c+bc^2)$ $[(a+b)-c]^3=(a^3+b^3-c^3)+3(a^2b+ab^2-2abc -a^2c+ac^2-b^2c+bc^2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/3/98385f1f1273f23511bcf3fc5779522582.png)
(4)
Из разложения бинома Ньютона простой степени следует, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, пропорциональны показателю степени, при этом второй и предпоследний биномиальный коэффициенты в разложении бинома равны показателю степени. Следовательно, сумма всех одночленов в разложении бинома, кроме первого и последнего, имеет наибольший общий делитель, равный простому показателю степени бинома.
Если теорема Ферма имеет решение в целых числах, то должно выполняться равенство:

(5)
Тогда из формулы (4) следует:
![$[(a+b)-c]^3=3(a^2b+ ab^2-2abc - a^2c+ac^2-b^2c+bc^2)$ $[(a+b)-c]^3=3(a^2b+ ab^2-2abc - a^2c+ac^2-b^2c+bc^2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/b/45b37f18554805452d4a5c30b6a80fa682.png)
(6)
Левая часть формулы (6) является кубом числа, правая ее часть не является кубом числа. Следовательно, формула (6) не является равенством, поэтому:

(7)
Таким образом, формула (2) не является равенством и, следовательно, теорема Ферма не имеет решения в целых числах для степени

.