Помогите, пожалуйста, срочно решить задачи!

[shdk]

1. 6-значное число n обладает следующими свойствами:
1.) является полным квадратом
2.) первые 3 знака числа n образуют на единицу большее число, чем последние 3 знака. Найти все 6-значные числа, удовлетворяющие данным свойствам.

2. У алхимика 50 веществ. Любые 49 веществ, взятых в равных долях, он превращает в оставшееся, не меняя суммарной массы. Доказать, что он может добиться того, что всех 50 веществ у него станет поровну.

[Руст]

Первая сводится к $1001x+1=y^2$, учитывая, что $y=\pm 1 \mod 7, y=\pm 1 \mod 11, y=\pm 1\mod 13$ и выбирая из 6 решений (точнее из 8 из которых сразу отбрасываем 1 - и 1000=1001-1) большиие 316 получаем решения.
Вторая легко решается при бесконечном процессе. Можно и за конечное число уравнивая количества долей всё большего количества как минимум допольнительно ещё одного вещества. Тогда процесс остановится не более чем за 50 шагов.

[neo66]

Руст писал(а):

Вторая легко решается при бесконечном процессе. Можно и за конечное число уравнивая количества долей всё большего количества как минимум допольнительно ещё одного вещества. Тогда процесс остановится не более чем за 50 шагов.

1)Если у алхимика 49 вешеств отсутствуют вообще, то, очевидно, он не сможет ничего изменить. Поэтому, по-видимому, предполагается, что каждое вещество имеется в ненулевом количестве.

2)Что-то я сомневаюсь, что 50 шагов всегда достаточно. Рассмотрите, например, случай:(1000,1, 1, ... ,1,1). То есть, первого вещесва у нашего алхимика 1000, а остальных по 1. Как Вы будете действовать на его месте в этом случае?

[Руст]

neo66 писал(а):

Что-то я сомневаюсь, что 50 шагов всегда достаточно. Рассмотрите, например, случай:(1000,1, 1, ... ,1,1). То есть, первого вещесва у нашего алхимика 1000, а остальных по 1. Как Вы будете действовать на его месте в этом случае?

Да, правильно сомневаетесь. Так как это происходит при уравнивании сверху. А в таком примере сначала надо увеличить количества 49 веществ (которых мало). Причём при одинаковом увеличении за 49 ходов мы увеличиваем минимальные (добавляя по 1/48 доле) всего в 25/24 раза. Поэтому придётся этот процесс увеличения повторять около 50 раз.