Заковыристая задача про пределы

[devgen]

Oleg Zubelevich в сообщении #788357 писал(а):

http://dxdy.ru/post751627.html#p751627

Может кто-нибудь подсказать, в какую сторону смотреть, чтобы понять откуда взялось это представление? Спасибо.

[provincialka]

Исходное условие можно переписать в виде $f(2x)-f(x)=o(x)$ или $f(x)=f(2x)+\gamma(x)\cdot x$, где $\gamma(x)\to 0$ при $x\to 0$. Запишите такие равенства для $\frac{x}{2^n}$

[devgen]

provincialka

(Оффтоп)

меня глючит или вы поправили?

[provincialka]

Поправила. Там же предел 0, а не 1. На бегу писала.

[devgen]

$$f(2x)-f(x)=\gamma(x)x$$

$$f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^{n}})=\gamma(\frac{x}{2^{n}})\frac{x}{2^{n}}$$

$$f(\frac{x}{2^{n-2}})-f(\frac{x}{2^{n-1}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-1}})\frac{x}{2^{n-1}}$$

$$f(\frac{x}{2^{n-3}})-f(\frac{x}{2^{n-2}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-2}})\frac{x}{2^{n-2}}$$

$$f(\frac{x}{2^{n-4}})-f(\frac{x}{2^{n-3}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-3}})\frac{x}{2^{n-3}}$$

$$\dots$$

$$f(\frac{x}{2^{n-(n-1)-1}})-f(\frac{x}{2^{n-(n-1)}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-(n-1)}})\frac{x}{2^{n-(n-1)}}=f(x)-f(\frac{x}{2})=\gamma(\frac{x}{2})\frac{x}{2}$$

Складываем, получается:
$f(x)-f(\frac{x}{2^n})=\sum_{k=0}^{n-1}\gamma(\frac{x}{2^{n-k}})\frac{x}{2^{n-k}}$
$f(x)=f(\frac{x}{2^n})+x\sum_{k=0}^{n-1}\gamma(\frac{x}{2^{n-k}})\frac{1}{2^{n-k}}$

Как-то чуть иначе вышло. И чего дальше делать тоже не могу понять
Значит мы можем доказать это только для последовательностей $x/2^n$, если верно для них, верно и для любых?

[Cash]

$f(x)=f(\frac{x}{2^n})+x\sum_{k=1}^{n}\gamma(\frac{x}{2^{k}})\frac{1}{2^{k}}$

$\tilde{\gamma}(x) = \sup_{0<t<x}|\gamma(t)|$

Тогда
$|f(x)| \leqslant |f(\frac{x}{2^n})|+x\tilde{\gamma}(x)$

[devgen]

Cash
Спасибо