2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 10:09 
Oleg Zubelevich в сообщении #788357 писал(а):
http://dxdy.ru/post751627.html#p751627


Может кто-нибудь подсказать, в какую сторону смотреть, чтобы понять откуда взялось это представление? Спасибо.

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 11:09 
Аватара пользователя
Исходное условие можно переписать в виде $f(2x)-f(x)=o(x)$ или $f(x)=f(2x)+\gamma(x)\cdot x$, где $\gamma(x)\to 0$ при $x\to 0$. Запишите такие равенства для $\frac{x}{2^n}$

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 11:28 
provincialka

(Оффтоп)

меня глючит или вы поправили?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 11:56 
Аватара пользователя
Поправила. Там же предел 0, а не 1. На бегу писала.

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 14:11 
$$f(2x)-f(x)=\gamma(x)x$$
$$f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^{n}})=\gamma(\frac{x}{2^{n}})\frac{x}{2^{n}}$$
$$f(\frac{x}{2^{n-2}})-f(\frac{x}{2^{n-1}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-1}})\frac{x}{2^{n-1}}$$
$$f(\frac{x}{2^{n-3}})-f(\frac{x}{2^{n-2}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-2}})\frac{x}{2^{n-2}}$$
$$f(\frac{x}{2^{n-4}})-f(\frac{x}{2^{n-3}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-3}})\frac{x}{2^{n-3}}$$
$$\dots$$
$$f(\frac{x}{2^{n-(n-1)-1}})-f(\frac{x}{2^{n-(n-1)}})=\gamma(\frac{x}{2^{n-(n-1)}})\frac{x}{2^{n-(n-1)}}=f(x)-f(\frac{x}{2})=\gamma(\frac{x}{2})\frac{x}{2}$$
Складываем, получается:
$f(x)-f(\frac{x}{2^n})=\sum_{k=0}^{n-1}\gamma(\frac{x}{2^{n-k}})\frac{x}{2^{n-k}}$
$f(x)=f(\frac{x}{2^n})+x\sum_{k=0}^{n-1}\gamma(\frac{x}{2^{n-k}})\frac{1}{2^{n-k}}$

Как-то чуть иначе вышло. И чего дальше делать тоже не могу понять :facepalm:
Значит мы можем доказать это только для последовательностей $x/2^n$, если верно для них, верно и для любых?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение15.11.2013, 15:33 
$f(x)=f(\frac{x}{2^n})+x\sum_{k=1}^{n}\gamma(\frac{x}{2^{k}})\frac{1}{2^{k}}$

$\tilde{\gamma}(x) = \sup_{0<t<x}|\gamma(t)|$

Тогда
$|f(x)| \leqslant |f(\frac{x}{2^n})|+x\tilde{\gamma}(x)$

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение16.11.2013, 16:30 
Cash
Спасибо :facepalm:

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group