Собственные значения и собственные векторы матрицы

[Limit79]

Здравствуйте!

Возникли трудности с такой задачей:

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -4\\ -2& 6 & -2 \\ -4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$

Характеристическое уравнение получилось такое:

$$(\lambda +2) (\lambda - 7)^2=0$$

Собственные значения:

$$\lambda_{1} = 7, \lambda_{2} = -2$$

Причем первый корень кратности $2$.

В связи с этим вопрос - собственных вектора будет два или три?

[devgen]

Limit79
Про геометрическую кратность можно сказать только, что она будет не больше алгебраической. Так что вроде только подставлять и считать

[mihailm]

Limit79 в сообщении #788429 писал(а):

,,,В связи с этим вопрос - собственных вектора будет два или три?

Ну это несложный вопрос) Их много, бесконечно много

[Евгений Машеров]

Матрица симметрична. Кратность алгебраическая.

[Limit79]

devgen
Допустим, при $\lambda_{1}=7$, решение системы будет: $X = C_{1} \cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

При $\lambda_{2}=-2$, решение системы будет: $X = C_{2} \cdot \begin{pmatrix} d\\ e\\ f \end{pmatrix}$

Как в таком случае определить их количество?

mihailm

(Оффтоп)

Вы, очевидно, поняли, что я имел ввиду.

-- 14.11.2013, 16:31 --

Евгений Машеров
А что это значит?

[mihailm]

Не допускайте, решите честно соответствующие системы.
Если не хотите решать прочитайте теорию про собственные векторы симметрических матриц

[Limit79]

mihailm
Я не то чтобы не хочу, в данный момент просто возможности нет, поэтому и предполагаю. Через минут 40 будет возможность, решу, и отпишусь

[Limit79]

mihailm
При $\lambda_{1} = 7$ решение системы такое: $\left\{\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1}{2} x_{2}-x_{3}\\ x_{2} = C_{1}\\ x_{3} = C_{2} \end{matrix}\right.$

При $C_{1}=1, C_{2}=0$ получим $\vec{x_{1}} = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

При $C_{1}=0, C_{2}=1$ получим $\vec{x_{2}} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$


При $\lambda_{1} = -2$ решение системы такое: $\left\{\begin{matrix} x_{1} = x_{3}\\ x_{2} = \frac{1}{2} x_{3}\\ x_{3} = C_{3} \end{matrix}\right.$

При $C_{3}=1$ получим $\vec{x_{3}} = \begin{pmatrix} 1\\ 1/2\\ 1 \end{pmatrix}$

Все таки будет три собственных вектора, верно ли?

[AV_77]

Если системы правильно решили, то да.

[Limit79]

AV_77
Да, системы решены верно.

devgen, mihailm, Евгений Машеров, AV_77
Большое спасибо за помощь!

[Евгений Машеров]

Limit79 в сообщении #788544 писал(а):

Евгений Машеров
А что это значит?

Кратным собственным значениям может соответствовать разные собственные вектора (причём любая их линейная комбинация - тоже с.в.) или один на всех.
Для симметричных матриц второго не бывает.

[mihailm]

Limit79 в сообщении #788627 писал(а):

...Все таки будет три собственных вектора, верно ли?

Ну можно сказать да.
Но эта фраза про три собственных вектора крайне некорректна и любой препод к этому придерется.
Исправляйте ее хотя бы как "три линейно независимых собственных вектора".