2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 04:06 
Здравствуйте!

Возникли трудности с такой задачей:

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы $$A = \begin{pmatrix}
 3 & -2 & -4\\ 
 -2& 6 & -2 \\ 
-4 & -2 & 3
\end{pmatrix}$$

Характеристическое уравнение получилось такое: $$(\lambda +2) (\lambda - 7)^2=0$$

Собственные значения: $$\lambda_{1} = 7, \lambda_{2} = -2$$

Причем первый корень кратности $2$.

В связи с этим вопрос - собственных вектора будет два или три?

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 04:13 
Limit79
Про геометрическую кратность можно сказать только, что она будет не больше алгебраической. Так что вроде только подставлять и считать :roll:

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 07:05 
Limit79 в сообщении #788429 писал(а):
,,,В связи с этим вопрос - собственных вектора будет два или три?

Ну это несложный вопрос) Их много, бесконечно много

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 11:42 
Аватара пользователя
Матрица симметрична. Кратность алгебраическая.

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 15:29 
devgen
Допустим, при $\lambda_{1}=7$, решение системы будет: $X = C_{1} \cdot \begin{pmatrix}
a\\ 
b\\ 
c
\end{pmatrix}$

При $\lambda_{2}=-2$, решение системы будет: $X = C_{2} \cdot \begin{pmatrix}
d\\ 
e\\ 
f
\end{pmatrix}$

Как в таком случае определить их количество?

mihailm

(Оффтоп)

Вы, очевидно, поняли, что я имел ввиду.


-- 14.11.2013, 16:31 --

Евгений Машеров
А что это значит?

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 16:01 
Не допускайте, решите честно соответствующие системы.
Если не хотите решать прочитайте теорию про собственные векторы симметрических матриц

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 16:05 
mihailm
Я не то чтобы не хочу, в данный момент просто возможности нет, поэтому и предполагаю. Через минут 40 будет возможность, решу, и отпишусь :D

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 18:16 
mihailm
При $\lambda_{1} = 7$ решение системы такое: $\left\{\begin{matrix}
x_{1} = - \frac{1}{2} x_{2}-x_{3}\\ 
x_{2} = C_{1}\\ 
x_{3} = C_{2}
\end{matrix}\right.$

При $C_{1}=1, C_{2}=0$ получим $\vec{x_{1}} = \begin{pmatrix}
-1/2\\ 
1\\ 
0
\end{pmatrix}$

При $C_{1}=0, C_{2}=1$ получим $\vec{x_{2}} = \begin{pmatrix}
-1\\ 
0\\ 
1
\end{pmatrix}$


При $\lambda_{1} = -2$ решение системы такое: $\left\{\begin{matrix}
x_{1} = x_{3}\\ 
x_{2} = \frac{1}{2} x_{3}\\ 
x_{3} = C_{3}
\end{matrix}\right.$

При $C_{3}=1$ получим $\vec{x_{3}} = \begin{pmatrix}
1\\ 
1/2\\ 
1
\end{pmatrix}$

Все таки будет три собственных вектора, верно ли?

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 18:27 
Если системы правильно решили, то да.

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 18:38 
AV_77
Да, системы решены верно.

devgen, mihailm, Евгений Машеров, AV_77
Большое спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 20:08 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #788544 писал(а):

Евгений Машеров
А что это значит?


Кратным собственным значениям может соответствовать разные собственные вектора (причём любая их линейная комбинация - тоже с.в.) или один на всех.
Для симметричных матриц второго не бывает.

 
 
 
 Re: Собственные значения и собственные векторы матрицы
Сообщение14.11.2013, 20:25 
Limit79 в сообщении #788627 писал(а):
...Все таки будет три собственных вектора, верно ли?

Ну можно сказать да.
Но эта фраза про три собственных вектора крайне некорректна и любой препод к этому придерется.
Исправляйте ее хотя бы как "три линейно независимых собственных вектора".

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group