Изменения энергии при сжатии жидкости в гидравлике

[Arastas]

Помогите, пожалуйста, разобраться с поведением жидкости в гидравлике. Рассмотрим простой пример: изолированный гидроцилиндр, не подулюченный ни к насосу, ни к резервуару.

Две камеры, A и B. Соответственно, давления $P_a$ и $P_b$, а также площади поршня с разных сторон: $A_a$ и $A_b$. Положение поршня обозначим как $x$, положительная скорость $\dot{x}$ соответствует выдвижению поршня. Трения нет, никакие внешние силы на поршень не действуют, рассеивания тепла не происходит.
Уравнение движения:

$$m\,\ddot{x} = P_a\,A_a-P_b\,A_b,$$

где $m$ — масса поршня, $F_h = P_a\,A_a-P_b\,A_b$ — гидравлическая сила. Динамика давлений:

\begin{align*}\dot{P}_a &= \frac{\beta}{V_{a}}(-\dot{V}_a) \\ \dot{P}_b &= \frac{\beta}{V_{b}}(-\dot{V}_b) \end{align*}

Здесь $\beta$ — модуль упругого сжатия масла, $V_{a}$ - текущий объем камеры A, $V_a = V_{a0} + x\,A_a$, где $V_{a0}$ — объем камеры A при положении $x=0$. Объем камеры B определяется как $V_b = V_{b0} - x\,A_b$, где $V_{b0}$ — объем камеры B при положении $x=0$. Соответственно, $\dot{V}_a = A_a\,\dot{x}$ и $\dot{V}_b = -A_b\,\dot{x}$.
Совокупности этих уравнений вместе с начальными условиями достаточно для моделирования поведения поршня. Выберем $x(0)=x_0$ и $\dot{x}(0)=0$, где $x_0$ — среднее положение. Если мы выберем начальные давления так, что $P_a(0)\cdot A_a = P_b(0)\cdot A_b$, то, естественно, никакого движения в системе не проиходит. Если же выбрать начальные давления не равновесными, то я наблюдаю (моделирую в Simulink) незатухающие периодические колебания - поршень колеблется с некоторой малой амплитудой, давления колеблются вокруг каких-то значений, сила колеблется вокруг нуля. Если предположить, что объемы $V_a$ и $V_b$ не меняются (а это более-менее справедливо, так как колебания $x$ очень малы относительно начального положения $x_0$), то система уравнений становится линейной колебательной, для которой несложно найти частоту колебаний.
Исходя из сохранения энергии, я предполагаю, что имеет место некоторое перетекание энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Сжимается масло в одной камере, запасая энергию, потом начинает разжиматься, двигая поршень и сжимая масло в другой камере, затем в другую сторону. Как-то так. Но вот как описать эти процессы аналитически я не знаю, не смог нагуглить запасание энергии при сжимании жидкости. Помогите, пожалуйста, с описанием измернения энергии при таких колебниях.

[DimaM]

Изменение энергии равно минус работе силы давления, $dE=-PdV$. У вас, насколько я понимаю, $dV=-\beta PV_{a,b}$, отсюда выходит $dE=\beta P^2V_0=dV^2/\beta V_0$. Скорее всего, где-то еще двойка потерялась, но сходу не могу сообразить.
По смыслу при гармонических колебаниях потенциальная энергия как раз и должна быть квадратична по смещению.

[Arastas]

Наверное, правильнее записать как $dV = -\frac{V}{\beta}\,dP$. Тогда получится $\dot{E}=-P\,\dot{V}$ или $\dot{E}=\frac{P\,V}{\beta}\dot{P}$.

Хотя, честно говоря, я не очень понимаю, что такое работа сил давления. Скажем, поршень выдвигается. Что происходит? Давление $P_a$ выполняет работу по изменению объема камеры A: $P_a\,dV_a$? Или по изменению объема камеры B: $P_a\,dV_b$? И какую работу выполняет давление $P_b$? У меня, к сожалению, ясности нет.
Надо ли при этом еще доавлять кинетическую энергию $\frac{1}{2}m\,\dot{x}^2$?

[Arastas]

Ага, кажется разобрался. Действительно, $\dot{E}_a=-P_a\,\dot{V}_a = -P_a\,A_a\,\dot{x}$, а $\dot{E}_b=-P_b\,\dot{V}_b = P_b\,A_b\,\dot{x}$. Изменение кинетической энергии: $\dot{E}_k=m\,\ddot{x}\,\dot{x}$. Тогда, с учетом $m\,\ddot{x} = P_a\,A_a-P_b\,A_b$, получим $\dot{E}_a+\dot{E}_b+\dot{E}_k=0$. Правильно?

[DimaM]

Arastas в сообщении #788303 писал(а):

Правильно?

Правильно.