Векторный анализ в R^n в (гипер)сферических коордатаx?

[Divergence]

Подскажите пожалуйста выражения (или ссылки где это можно найти) для дивергенции, градиента, ротора и Лапласиана (от вектора и скаляра) для $\mathbb{R}^n$ в сферических (точнее гиперсферических) координатах.
В общем виде или хотя бы для случая, когда вектор $\vec{u}$ (и/или скаляр $u$) не зависит от углов $\theta_1,...,\theta_{n-1}$ и направлен только по радиусу $r$, но в $\mathbb{R}^n$.

Нашел только:
1) Сами сферические (гиперсферические) координаты для $\mathbb{R}^n$ в википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere
2) Эти операторы в сферических координатах для $\mathbb{R}^3$ в википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cyl ... oordinates
3) Лапласиан от вектора $\vec{u}=\vec{u}(r)$ для $\mathbb{R}^3$ в сферической системе координат: $\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2$.
4) Лапласиан от скаляра $u=u(r)$ в $\mathbb{R}^n$ в (гипер)сферической системе координат: $\Delta u(r)= (u)'' - (n-1)u'/r$.

Заранее спасибо. Буду признателен за любую информацию по этой теме.

[Munin]

Не надо ничего искать. Выведите всё самостоятельно. Есть формулы лапласиана в декартовых координатах, формулы замены координат, формулы производных при заменах координат.

Осторожно надо с векторами: есть разные соглашения о том, как записываются векторы в криволинейных координатах. Иногда через локальный базис $\partial/\partial x^i$ (то есть, через разложение по базису локальной неортонормированной системы координат, совпадающей с тем, как данная криволинейная система координат "выглядит" в данной точке). Иногда этот же базис нормируют, особенно когда криволинейные координаты локально ортогональны (а сферические именно таковы). Формулы получатся разными.

[Divergence]

Неужто никто это не делал и нигде это не написано? Для $\mathbb{R}^n$? Даже на английском? Если так, то это как-то странно.

[Munin]

Делали. Написано. Полезнее самому сделать, чем искать.

Не в последнюю очередь потому, что даже для 3D существуют 4 или больше вариантов введения системы координат, и соответственно, лапласианов, а уж для $n$D - и того больше, кто во что горазд, никаких стандартов. Так и сделайте то, что нужно лично вам.

[g______d]

Мне кажется, эта книга может быть полезной:

http://books.google.com/books/about/Spe ... 8L24cudcgC

[Divergence]

g______d в сообщении #788451 писал(а):

Мне кажется, эта книга может быть полезной:
http://books.google.com/books/about/Spe ... 8L24cudcgC

Спасибо за ссылку.
Но все что там есть что-то близкое - это формула (3.4.4) и то для "de Rham Laplacian, on the generalized cone" примененного к "a generic p-form on Riemannian manifold M" при использовании "we use separation of variables to reduce the analysis to the problem on the base N as we succeeded in doing for scalars and spinors."
Из выражения (3.4.4) никак не получить (для проверки соотвествия) Лапласиан от вектора $\vec{u}=\vec{u}(r)$ для $\mathbb{R}^3$ в сферической системе координат: $\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2$.

Munin в сообщении #788442 писал(а):

Полезнее самому сделать, чем искать.

К сожалению зарядку я тоже делаю как хома, а не как суслик http://www.youtube.com/watch?v=3YJkZ5b9cXg

Munin в сообщении #788442 писал(а):

лапласианов, а уж для $n$D - и того больше, кто во что горазд, никаких стандартов.

Хоть один примерчик ссылки плиз - для $\mathbb{R}^n$, для вектора. А?
А здорово было б, если там есть дивергенция ротор градиент в сферических для векторных и скалярных функций не зависящих от углов.
Неужто совсем нет ссылок в природе?

Я ж на экзотику не претендую.
Мне бы рабоче-крестьянское $\mathbb{R}^n$,
а Spherical coordinates подойдут и простенькие - из http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere

Неужто никто не написал "простенького" обобщения векторного анализа $\mathbb{R}^n$ в (гипер)сферических координатах ? А?

[g______d]

Divergence в сообщении #788494 писал(а):

А здорово было б, если там есть дивергенция ротор градиент в сферических для векторных и скалярных функций не зависящих от углов.

Что Вы понимаете под ротором вектор-функции в $n$ измерениях? Это чисто трехмерное явление, что внешний дифференциал 1-формы можно с помощью оператора Ходжа отождествить с 1-формой. В произвольной размерности это будет просто внешний дифференциал, и всё.

Впрочем, вот еще несколько ссылок (за качество не отвечаю)

http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/ ... herdim.pdf

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~gurses/o ... snions.pdf

А в книжке на самом деле обычный оператор тоже есть, надо только понять, что скалярные функции – это 0-формы, лапласиан в $\mathbb R^n$ – то же, что лапласиан на шаре (по крайней мере, с точки зрения формального выражения), а шар – частный случай конуса.

[Divergence]

g______d в сообщении #788500 писал(а):

Впрочем, вот еще несколько ссылок

Спасибо за новые ссылки.
К сожалению там нет Лапласиана от вектора $\mathbb{R}^n$ сферической системе координатах.
Есть Лапласиан от скаляра (во второй ссылке в параграфе 2.6) в n-мерии $\mathbb{R}^n$, который прописан и википедии (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator и http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2 ... i_operator), и в книге Виленкина о спецфункциях.
К сожалению нет выражения для Лапласиан от вектора в n-мерии, которое для $n=3$ дает известное выражение Лапласиана от вектора $\vec{u}=\vec{u}(r)$ для $\mathbb{R}^3$ в сферической системе координат:
$\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2= (u_r)'' - 2(u_r)'/r- 2u_r /r^2$ из http://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cyl ... oordinates

Хотелось бы увидеть для $\mathbb{R}^n$ хотя бы что-то типа
$\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - (n-1)u_r /r^2= (u_r)'' - (n-1)(u_r)'/r- (n-1)u_r /r^2$
или что-то в этом духе?! А может эта выдуманная формула правильная?

g______d в сообщении #788500 писал(а):

Что Вы понимаете под ротором вектор-функции в $n$ измерениях?

rot (или curl) и др. можно понимать и по рабоче-крестьянки:
$(rot (\vec{u}))_k = \varepsilon_{ijk} \partial_j u_k \vec{e}_i$;
$div (\vec{u}) = \partial_k u_k$;
$grad (u) = (\partial_k u_k) \vec{e}_k$
где $\vec{u}= u_k \vec{e}_k$ - в декартовых координатах $\mathbb{R}^n$.

[Munin]

Начните с того, что $\varepsilon_{ijk}$ в $n$-мерных координатах не существует - вместо него есть тензор Леви-Чивиты $n$-ного ранга $\varepsilon_{i_1\ldots i_n}.$

А вообще, такое впечатление, что вам бы для начала просто тензорный анализ хорошенько изучить. Пока то, чего вы хотите, сильно расходится по уровню с тем, чего вы умеете и знаете. Это видно по тому, в каких понятиях вы выражаете свои желания.

Тензорный анализ позволяет работать с произвольными системами координат. Он это делает так ловко, что перестаёшь вообще обращать внимание на особенности системы координат: лапласиан есть $D_iD^iT\equiv T_{;i}{}^{;i}.$ В более мощных формализмах дифференциальных форм, о системах координат вообще забывают на уровне нотации, и возникает лапласиан де Рама, который вам и указали, $\mathop{d\vphantom{p}}\mathop{*}d+\mathop{d\vphantom{p}}\mathop{d\vphantom{p}}*$ или $\mathop{d\vphantom{p}}\delta+\mathop{\delta\vphantom{p}}d.$

Всё это возникает не просто так, а вместе с задачами, для которых применяется этот инструментарий. "Просто так" такой лапласиан никому не нужен. Если вы объясните, откуда исходят ваши пожелания, то можно будет более предметно направить вас на тот раздел математики, который их удовлетворит.

[Divergence]

Munin в сообщении #788573 писал(а):

Всё это возникает не просто так, а вместе с задачами, для которых применяется этот инструментарий. "Просто так" такой лапласиан никому не нужен. Если вы объясните, откуда исходят ваши пожелания

Мне не ненужен безкоординатный язык,так как задача связана со сферической системой координат (точнее сферической симметрией). Отсюда нужны диф.формы и диф.геометрия и $D_iD^i T_k$, которые для меня сложноваты для решения дифуров на этом языке. Мне нужна явная запись Лапласиана от векторного поля в сферических координатах, чтобы выделить в решении в задаче типа теории упругости в $\mathbb{R}^n$ явную зависимость от $n$ для векторного поля $\vec{u}$, не зависящего от углов, т.е. изотропной среды. Например, как минимум решить задачку аналогичную задаче из Ландау Лифшица Том 7. ("Теория упругости". после Параграфа 7 задача номер 2):

Найти решение уравнения $grad \, div \, \vec{u}=0$, или $ \Delta \, \vec{u} =0$ (а лучше и для $\Delta \, \vec{u}(r) =f(r)$, например когда $ f(r)=const=f_0$), когда $\vec{u}=\vec{u}(\vec{r})$ направлен только по радиусу и зависит только от $r$, то есть $\vec{u}(\vec{r})=\vec{u}(r)$ (отсюда и интерес к сферической системе координат); выделить для полученного решения в $\mathbb{R}^n$ явную зависимость от $n$.

Как максимум, мне нужен Векторный анализ в $\mathbb{R}^n$ в (гипер)сферических координатах, чтобы решить еще некоторые уравнения не только с Лапласианом.

[Munin]

Итак, у вас всё-таки есть задача. Что за задача, откуда происходит?

Если у вас векторное поле направлено только по радиусу, то всё существенно упрощается. Вовсе не нужны становятся те сложности, о которых вам упоминали. Вы действуете по принципу "дайте мне сложный ответ, а я потом всю сложность выброшу".

Да что там, задача вообще сводится к теореме Гаусса...

[Divergence]

(1) Решение уравнения $ \Delta \, u =0 $ для скалярного поля $u$ в $\mathbb{R}^n$: $u(r) = - \frac{1}{n-2} r^{2-n} +b$. - Выделена зависимость от $n$.
(2) У Ландау решение уравнения $ \Delta \, \vec{u} =0 $ для $\mathbb{R}^3$ для векторного поля: $u_r =a r +b r^{-2} $.
(3) Как выглядит решение уравнения $ \Delta \, \vec{u} =0$ для $\mathbb{R}^n$ для векторного поля? А?
Это то, что минимально хотелось бы.
А побольше: $ \Delta \, \vec{u} - c^2 \, \Delta^m \, \vec{u} =0 $, где $m$ для начала 2.
Здесь, и в других аналогичных задачках, все сводиться к ОДУ, но вопрос к каким?
Поэтому нужен явный вид Лапласиана для $ \vec{u}(\vec{r}) =\vec{u}(r)$ в $\mathbb{R}^n$ - для сведения к ОДУ. Гаусс не пройдет для других уравнений.

[Munin]

Divergence в сообщении #788607 писал(а):

Гаусс не пройдет для других уравнений.

Разумеется. Но в вашем - получается полное упрощение. И задача в Ландау тоже написана в расчёте на такое упрощение. Это в её условия загнано, понимаете?

Когда $\vec{u}$ направлен только по радиусу, то он имеет вид $\vec{u}=\tfrac{u(r)}{r}\vec{r},$ где $u(r)$ - произвольная функция.

Теперь, зная, что $\Delta\vec{u}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{u},$ можно взять тонкий сферический слой $(r,r+dr),$ и проинтегрировать по нему дивергенцию:

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,dV=\oint\limits_{\text{граница слоя}}\vec{u}\,d\vec{S}$$

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,\,4\pi r^2dr=\biggl(\int\limits_{@\,r+dr}d\vec{S}-\int\limits_{@\,r}d\vec{S}\biggr)\vec{u}=4\pi(r+dr)^2(u+u'dr)-4\pi r^2u=4\pi(2ur+r^2u')dr$$

Теперь, поскольку всё сферически-симметрично, разделив на площадь сферы, можно найти и саму $\operatorname{div}\vec{u}.$ Дальше градиент, уже сами справитесь.

И вот эти формулы обобщать на $n$ размерностей гораздо проще, даже - элементарно. Если вам нужна площадь $n$-мерной сферы, в Википедии найдёте.

[g______d]

Divergence в сообщении #788494 писал(а):

Из выражения (3.4.4) никак не получить (для проверки соотвествия) Лапласиан от вектора $\vec{u}=\vec{u}(r)$ для $\mathbb{R}^3$ в сферической системе координат: $\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2$.

Точно не получить? Если подставить $p=1$?

[Divergence]

g______d в сообщении #788709 писал(а):

Если подставить $p=1$?

Спасибо. Может вы и правы. Мне явно не хватает знаний для полного понимания.

Вы имеете ввиду третью скобку из (3.4.4)? Тогда, что ли
$\Delta \vec{u}=\frac{\partial^2 u_r(r)}{\partial r^2}+\frac{D-1}{r} \frac{\partial u_r(r)}{\partial r}-\frac{D-1}{r^2} u_r(r)$, где $u_r(r)=f(r)$ и $D=d+1$ ?
При $D=3$ получаем правильное обычное трехмерное выражение: $\Delta \vec{u}=\frac{\partial^2 u_r(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial u_r(r)}{\partial r}-\frac{2}{r^2} u_r(r)$,
А что с другими слагаемыми в уравнении делать? Видимо положить $\phi(x)=0$ или $g(x)=0$ из-за формулы перед (3.4.1) ? И наверное $d \omega(x)=0$ - это в четвертой строчке (3.4.4)?

А для тензора типа $\varepsilon_{kl}(\vec{r})=\varepsilon_{kl}(r)$ используем $p=2$ и получаем
$\Delta \varepsilon =\frac{\partial^2 \varepsilon_{rr}(u)}{\partial r^2}+\frac{D-3}{r} \frac{\partial \varepsilon_{rr}(r)}{\partial r}-\frac{D-3}{r^2} \varepsilon_{rr}(r)$ ?
При $D=3$ получаем
$\Delta \varepsilon =\frac{\partial^2 \varepsilon_{rr}(u)}{\partial r^2}$
А это верно или нет?