Векторный анализ в R^n в (гипер)сферических коордатаx?

[Divergence]

Munin в сообщении #788700 писал(а):

Когда $\vec{u}$ направлен только по радиусу, то он имеет вид $\vec{u}=\tfrac{u(r)}{r}\vec{r},$ где $u(r)$ - произвольная функция.
Теперь, зная, что $\Delta\vec{u}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{u},$ можно взять тонкий сферический слой $(r,r+dr),$ и проинтегрировать по нему дивергенцию:

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,dV=\oint\limits_{\text{граница слоя}}\vec{u}\,d\vec{S}$$

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,\,4\pi r^2dr=\biggl(\int\limits_{@\,r+dr}d\vec{S}-\int\limits_{@\,r}d\vec{S}\biggr)\vec{u}=4\pi(r+dr)^2(u+u'dr)-4\pi r^2u=4\pi(2ur+r^2u')dr$$

Теперь, поскольку всё сферически-симметрично, разделив на площадь сферы, можно найти и саму $\operatorname{div}\vec{u}.$ Дальше градиент, уже сами справитесь.
И вот эти формулы обобщать на $n$ размерностей гораздо проще, даже - элементарно. Если вам нужна площадь $n$-мерной сферы, в Википедии найдёте.

Большое спасибо! Да, когда $\vec{u}$ направлен только по радиусу этим методом все легко получается.
И понятно откуда именно $(n-1)$ в обоих слагаемых, и
даже не обязательно знать коэффициенты в формуле многомерной сферы.

А если опытным взглядом посмотреть, то можно ли что-то в моем случае для тензорного Лапласиана сказать?
Для Лапласиана в $\mathbb{R}^n$ по тензору в изотропной среде, для тензора типа $\varepsilon_{kl}(\vec{r})=\varepsilon_{kl}(r)$?
Гауссом тензор не одолеть? A?

[Munin]

Divergence в сообщении #789060 писал(а):

Гауссом тензор не одолеть? A?

Теорема Гаусса имеет и форму для любых тензоров. И называется (обобщённой) теоремой Стокса.

[Divergence]

Тензор деформаций является симметричным $\varepsilon_{kl}(\vec{r})=(1/2)(\partial_k u_l({\vec{r}}) +\partial_l u_k({\vec{r}}))$.
Теорема же Стокса, насколько я знаю, формулируется для диф. $p$-форм. Для $p=2$, $\omega= \omega_{kl} dx_k \wedge dx_l$, где $\omega_{kl}$ - антисимметричный.
И как тогда её применять для симметричного $\varepsilon_{kl}(\vec{r})$ ?

[Munin]

Хм. Тогда надо обобщить теорему Гаусса как-то иначе. Я думаю, можно взять произвольный тензор, и применить теорему Гаусса (-Стокса-далее-везде) к только части его индексов. Во внешнем исчислении так нельзя, но в тензорном можно (особенно поскольку наше пространство плоское).

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #789159 писал(а):

Я думаю, можно взять произвольный тензор, и применить теорему Гаусса (-Стокса-далее-везде) к только части его индексов.

Феерично. Геометрический смысл такого действа особенно впечатляет. Не говоря о том, что этому специалисту уже намекали, что теорема "Стокса-далее-везде" имеет дело с косимметрическими ковариантными тензорами, а вовсе не с любыми.

[Munin]

Я уже засыпал, когда это писал.

А насчёт

Oleg Zubelevich в сообщении #789201 писал(а):

Не говоря о том, что этому специалисту уже намекали, что теорема "Стокса-далее-везде" имеет дело с косимметрическими ковариантными тензорами, а вовсе не с любыми.

- я в курсе, о чём намекал вам неоднократно, но вы, видимо, не специалист по слушанию и запоминанию, чего другие говорят.

[Divergence]

А тогда вопросы попроще о трехмерии $\mathbb{R}^3$:

А как определяется Лапласиан действующий на симметричный тензор $\varepsilon_{kl}(\vec{r})$, в трехмерии $\mathbb{R}^3$ в декартовой системе координат?
Это, что скалярный Лапласиан действующий покомпонентно $\varepsilon_{kl,kk}=\partial_k\partial_k \, \varepsilon_{kl}$, где сумиррование по $k$?

А как выглядит Лапласиан от симметричного тензора $\varepsilon_{kl}(\vec{r})=\varepsilon_{kl}(r)$,
не зависящего от углов в обычном трехмерии $\mathbb{R}^3$ в сферических координатах?

N.B. Ненулевыми компонентами тензора $\varepsilon_{kl}(\vec{r})=\varepsilon_{kl}(r)$
в $\mathbb{R}^3$ в сферических координатах являются лишь диагональные:
$\varepsilon_{rr}=\partial u_r/ \partial r$; $\varepsilon_{\theta \theta}=u_r/ r$; $\varepsilon_{\varphi \varphi}=u_r/ r$.

[Divergence]

Munin в сообщении #788573 писал(а):

Начните с того, что $\varepsilon_{ijk}$ в $n$-мерных координатах не существует - вместо него есть тензор Леви-Чивиты $n$-ного ранга $\varepsilon_{i_1\ldots i_n}.$

Второй вопрос: что является аналогом ротора в $\mathbb{R}^n$? Это оператор второго порядка?

Ротор в трехмерии это $rot (\vec{u})=\varepsilon_{kij} \partial_i u_j \vec{e}_k$
Неужто аналогом ротора в $\mathbb{R}^n$ является оператор $(n-1)$-порядка $rot (\vec{u})=\varepsilon_{ki_1 ... i_{n-1}j} \partial_{i_1} ... \partial_{i_{n-1}} u_j \vec{e}_k$?
или
в многомерии $\mathbb{R}^n$ аналог ротора наверное:
$d\omega = \partial_{[i} u_{k]} dx_k \wedge dx_l$ - диф. 2-форма соответствующая ротору векторному полю $\vec{u}$,
где $\omega (x) = u_k (x) dx_k$ - диф. 1-форма соответствующая векторному полю $\vec{u}$,
то есть просто антисимметричный тензор второго ранга?
Или
в многомерии много аналогов ротора, оба: и оператор 2- порядка и оператор $n-1$-порядка.