Задачка о выпуклой функции.

[esko]

Доказать, что выпуклая ограниченная на отрезке функция имеет односторонние производные в каждой точке отрезка.

Умею доказывать лишь, что такая функция непрерывна на своей области определения, но не знаю, как этим воспользоваться, больше никаких идей нет.

[provincialka]

Выпуклая - значит надграфик выпуклый? Или наоборот? Это не особо важно, просто для определённости. Можно попробовать провести секущую и посмотреть, как будет меняться угол ее наклона при приближении одного конца к другому.

[esko]

Да, надграфик f - выпуклое множество тогда и только тогда, когда f - выпуклая.

[Urnwestek]

esko в сообщении #787522 писал(а):

ограниченная на отрезке функция

А бывают неограниченные на отрезке выпуклые функции? (:

Используйте такую формулировку выпуклости:
$\frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1}<\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2-x}$
Для любых $x_1<x<x_2$ на

[ewert]

Из выпуклости следует монотонность отношения разностей как справа, так и слева. Это графически очевидно; ну а раз уж очевидно, то нетрудно обосновать и значками.

[SpBTimes]

А после того, как покажете монотонность углового коэффициента секущей, работает теорема Вейерштрасса.
А непрерывность, кстати, гарантируется лишь на интервале $(a; b)$

[esko]

Всем спасибо, разобрался :3