Определение состояний при вторичном квантовании

[rotozeev]

Прилагаю скриншот из книги Хакена по вторичному квантованию:



То есть имеется набор уровней, или состояний, которые могут занимать частицы. Эти уровни находятся с помощью решения обычного уравнения Шредингера. Если между частицами нет взаимодействия, то нет вопросов. А вот если есть, то тогда благодаря взаимодействию положение самих этих уровней может меняться в зависимости от числа частиц вообще и на каждом из уровней. Как тогда вообще можно применять подходы вторичного квантования? Единственный вариант, который я вижу - взаимодействие слабое и уровни не сильно меняются от числа частиц и каких то особенностей их поведения. Но кулоновское взаимодействие в твердом теле как раз таки не слабое.

Есть ли какие то общие правильные слова, которые отвечают на этот вопрос или же сам вопрос не корректен из-за неполного понимания?

[Munin]

rotozeev в сообщении #787391 писал(а):

Прилагаю скриншот из книги Хакена по вторичному квантованию

Чё-то я не врубаюсь. Вторичное квантование - небольшой вопрос, в учебниках ему посвящено пара параграфов или максимум глава. Что за книга по вторичному квантованию?

rotozeev в сообщении #787391 писал(а):

То есть имеется набор уровней, или состояний, которые могут занимать частицы. Эти уровни находятся с помощью решения обычного уравнения Шредингера. Если между частицами нет взаимодействия, то нет вопросов. А вот если есть, то тогда благодаря взаимодействию положение самих этих уровней может меняться в зависимости от числа частиц вообще и на каждом из уровней. Как тогда вообще можно применять подходы вторичного квантования?

Не надо путать уровни энергии и сами по себе частицы - "уровни" вторичного квантования. Во вторичном квантовании квантуется величина $N$ - число частиц, и может принимать значения $0,1,2,\ldots$ В описанном частном случае свободного поля, есть множество $\{\mu\}$ отдельных "подвидов" частиц (это частицы в состояниях с заданными квантовыми числами, например, с заданным волновым вектором и проекцией спина), и $N$ распадается на $\sum n_\mu,$ причём $n_\mu=\mathrm{const}.$ В случае взаимодействующих полей, выделение отдельных состояний представляет собой проблему, может быть сделано по-разному, и в общем случае не может быть обеспечено $n_\mu=\mathrm{const},$ да и $N=\mathrm{const}$ тоже. Но само по себе квантование величины $N$ остаётся, и она принимает всё тот же спектр значений (хотя не всегда находится в состоянии с одним определённым значением из этого спектра).

rotozeev в сообщении #787391 писал(а):

Но кулоновское взаимодействие в твердом теле как раз таки не слабое. Есть ли какие то общие правильные слова, которые отвечают на этот вопрос или же сам вопрос не корректен из-за неполного понимания?

Здесь есть другой вопрос, более сложный: в условиях не слабого взаимодействия (в режиме сильной связи) вообще не удаётся последовательно построить КТП. Действительно, формулировки несколько похожи на то, что вы сказали: при сильном взаимодействии не удаётся модифицировать набор состояний $\mathbb{N}^{\{\mu\}}$ путём последовательных приближений от свободного поля (применение стандартной теории возмущений). Но с энергией это не связано, энергия-то чёрт с ней, пусть искажается как хочет.

На практике, поступают таким образом:
там, где взаимодействие не слабое, там взаимодействующие затравочные "голые" частицы образуют "одетые" конгломераты новых типов, не аналогичные исходным затравочным частицам. Рассчитать их теоретически не удаётся. Но можно изучить экспериментально. Так, в твёрдом теле изучают квазичастицы новых типов: экситоны, поляроны, поляритоны, куперовские пары и т. п.
При этом, в то время как затравочные частицы были в режиме сильной связи (константа взаимодействия порядка или больше 1), оказывается, что "одетые" частицы находятся в режиме более слабой связи, и описывающая их эффективная КТП "ведёт себя хорошо", по крайней мере в первых порядках теории возмущений. Но она оказывается неперенормируемой. Пользоваться ею можно только на масштабах крупнее "конгломератов", не затрагивая их внутреннюю структуру. Аналогично пытаются действовать и в физике элементарных частиц.
Во всём этом мало хорошего и много неясного. Например, известно "на пальцах" из КХД, что по крайней мере в одном из вариантов режима сильной связи (Янг-Миллс с большим числом глюонов, на масштабах внутри нуклона) возникает не теория частиц, а теория струн - более конкретно, глюонной струны, или струны КХД. Впрочем, рассчитать эту теорию всерьёз тоже никто не может, видны только указания на неё.

Вроде как.

[rotozeev]

Munin в сообщении #787463 писал(а):

rotozeev в сообщении #787391 писал(а):

Прилагаю скриншот из книги Хакена по вторичному квантованию

Чё-то я не врубаюсь. Вторичное квантование - небольшой вопрос, в учебниках ему посвящено пара параграфов или максимум глава. Что за книга по вторичному квантованию?

Хакен - Квантовополевая теория твердого тела

Очень дружелюбная к читателю книга, раскрывающая многие аспекты и азы вторичного квантования, которые замалчиваются в других книгах.

Munin в сообщении #787463 писал(а):

rotozeev в сообщении #787391 писал(а):

То есть имеется набор уровней, или состояний, которые могут занимать частицы. Эти уровни находятся с помощью решения обычного уравнения Шредингера. Если между частицами нет взаимодействия, то нет вопросов. А вот если есть, то тогда благодаря взаимодействию положение самих этих уровней может меняться в зависимости от числа частиц вообще и на каждом из уровней. Как тогда вообще можно применять подходы вторичного квантования?

Не надо путать уровни энергии и сами по себе частицы - "уровни" вторичного квантования. Во вторичном квантовании квантуется величина $N$ - число частиц, и может принимать значения $0,1,2,\ldots$ В описанном частном случае свободного поля, есть множество $\{\mu\}$ отдельных "подвидов" частиц (это частицы в состояниях с заданными квантовыми числами, например, с заданным волновым вектором и проекцией спина), и $N$ распадается на $\sum n_\mu,$ причём $n_\mu=\mathrm{const}.$ В случае взаимодействующих полей, выделение отдельных состояний представляет собой проблему, может быть сделано по-разному, и в общем случае не может быть обеспечено $n_\mu=\mathrm{const},$ да и $N=\mathrm{const}$ тоже. Но само по себе квантование величины $N$ остаётся, и она принимает всё тот же спектр значений (хотя не всегда находится в состоянии с одним определённым значением из этого спектра).

Так вопрос состоит в том, что это множество $\{\mu\}$, его элементы являются функцией, как бы это сказать, $n_\mu$ и $N$. То есть, добавили частиц в систему, а они не сели на уже имеющиеся уровни, а изменили своим присутствием набор уровней. Ведь сами эти уровни по честному определяются путем решения многочастичного обычного уравнения Шредингера с волновой функцией от N координат. Ведь не факт, что энергетические спектры для системы с N частицами и N+1 частицей совпадут?

[Alex-Yu]

rotozeev в сообщении #787472 писал(а):

Так вопрос состоит в том, что это множество $\{\mu\}$, его элементы являются функцией, как бы это сказать, $n_\mu$ и $N$. То есть, добавили частиц в систему, а они не сели на уже имеющиеся уровни, а изменили своим присутствием набор уровней.

Совершенно верно, изменили. Такая проблема есть уже в теории атома: хартри-фоковские "уровни энергии" это вообще не уровни энергии! Ну разве что очень приблизительно. Сложные многочастичные задачи с взаимодействием не сводятся к банальному "заполнению уровней".

-- Пн ноя 11, 2013 19:27:17 --

rotozeev в сообщении #787472 писал(а):

Ведь не факт, что энергетические спектры для системы с N частицами и N+1 частицей совпадут?

Даже еще сильнее: факт, что НЕ СОВПАДУТ. Попробуйте почитать вторую часть статистической физики из курса Ландау-Лифшица (т. XI). Про концепцию квазичастиц. Да и у Хакена это тоже, если правильно помню, обсуждается, только дальше. Хотя помню плохо что у него есть а чего нет, давно я его читал...

Кстати о атоме (да и в кристаллах также) и методе хартри-фока. Так там так и делается: находятся "уровни энергии", заполняются, получается новый потенциал, находятся новые "уровни энергии"... И так далее. Иногда этот процесс сходится И даже если сходится, то это все равно приближение. Все равно это решение в пренебрежении так называемой корреляцией. Это большая проблема. Есть кое-какие методы ее решения: метод Меллера-Плессета (фактически теория возмущений над самосогласованным хартри-фоковским решением), метод конфигурационного взаимодействия (многочастичная волновая функция сразу пишется в виде линейной комбинации НЕСКОЛЬКИХ детерминантов, а не одного). Есть еще метод функционала плотности.

В общем все это довольно серьезная и не простая теория. И, конечно же, приближенная. Точно многочастично атомы нынче решены что-то там до 5 электронов (точно не помню, может даже до 3), не более. И уже с применением суперкомпьютеров. Что уж говорить о кристаллах, где электронов порядка $10^{23}$...

Проблема здесь в размерности. Пусть мы даже ограничились всего лишь сотней одночастичных состояний (довольно немного). Приближенно заменили бесконечномерное одночастичное пространство на конечномерное. Для одночастичных задач матрицы 100х100 - "раз плюнуть", если на компьютере. Тогда двухчастичных состояний уже 10000. Уже не мало. Трехчастичных --- миллион, четырехчастичных... Сами считайте Впрочем, требование (анти) симметрии волновой функции число многочастичных состояний снижает. Но не настолько, чтобы задача, скажем, для 100 электронов стала "проходима" в рамках прямого многочастичного подхода, пусть даже и на суперкомпьютере. Приходится придумывать всякие приближения. Причем, обычно, обоснованные лишь интуитивно-физически. И такая "обоснованнось" иной раз преподносит сюрпризы Физика -- это Вам не математика, тут все куда более "скользко". Я обычно сравниваю физику с хождением по болоту: никогда не знаешь где утонешь Но идти надо. Математикам хорошо, они просто отказываются от решения таких задач. Физик же не может себе позволить такой роскоши... Зато у физика есть эксперимент. Благодаря этому, и только этому, теорфизика, при всей ее "скользкости", все же не превращается в безудержное никчемное фантазирование. Но методологически здесь все сложнее.

[Freude]

Эти уровни зависят от выбора системы базисных функций по которым разлагаются полевые операторы и могут быть выбраны произвольно. После того, как мы диагонализируем гамильтониан, мы получим сдвиг этих уровней из-за взаимодействия между частицами. Кроме того, мы можем увидеть новые состояния, соответствующие квазичастицам.

[Munin]

rotozeev в сообщении #787472 писал(а):

Хакен - Квантовополевая теория твердого тела

Кстати, я заметил, вы её уже несколько лет читаете.

rotozeev в сообщении #787472 писал(а):

Ведь сами эти уровни по честному определяются путем решения многочастичного обычного уравнения Шредингера с волновой функцией от N координат.

Если честно, всё ещё хуже. Эти уровни по-честному определяются решением уравнений КТП, причём в режиме слабой связи их решить можно (теория возмущений + по вкусу перенормировка), а вот в режиме сильной связи - нельзя.

Если Alex-Yu рассказывает, как и вы, про более простой случай, то я напомню про то, что вообще-то мы имеем КТП. И решать должны не $N$-частичное УШ, а учитывать рождение и уничтожение всяких левых частиц. Например, имея мешок электронов, мы должны учитывать ещё то, что они создают и поглощают фононы. Это называется системой взаимодействующих (а не свободных) полей.

[Утундрий]

Alex-Yu в сообщении #787507 писал(а):

Есть еще метод функционала плотности

Кстати, есть где-нибудь его хорошее изложение?

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #787761 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #787507
писал(а):
Есть еще метод функционала плотности
Кстати, есть где-нибудь его хорошее изложение?

Смотря какого уровня. Если совсем вводного, то, думаю, ничего лучше нобелевской лекции Кона (была в УФН) нет. Просто и все понятно. Ну а дальше уравнения Кона-Шема... Затрудняюсь порекомендовать. Есть, без сомнения... Попробуйте поискать по фамилии такого автора: Е.Г.Максимов. Он в этой области работал, точно знаю. И книжки с обзорными статьями у него были.

Да просто там все, если высшими членами не грузиться (в большинстве случаем уравнения Кона-Шема хватит), лекции Кона достаточно. Полезно, пожалуй, почитать еще немного "в другую сторону": Дж. Слэтер "Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел". На самом деле метод функционала плотности (на уровне уравнения Кона-Шема во всяком случае) это почти в точности метод Хартри с обменно-корреляционной поправкой Слэтера (метод икс-альфа). Только коэффициент немного отличается. Ну и логика вывода другая. В физике всегда полезно посмотреть на одну проблему с разных сторон.

-- Вт ноя 12, 2013 14:02:16 --

Munin в сообщении #787741 писал(а):

то я напомню про то, что вообще-то мы имеем КТП. И решать должны не $N$-частичное УШ, а учитывать рождение и уничтожение всяких левых частиц.

Если гамильтониан сохраняет число частиц (а в ФТТ для электронов так), то все становится проще. Тогда вторичное квантование --- это лишь очень удобный прием автоматически учитывать комбинаторику связанную с асиммметрией волновой функции. Бывают, правда, например, фононы, число которых не сохраняется. Но на уровне адиабатического приближения фононы фактически "отвязаны" от электронов (уж во всяком случае можно учесть пертурбативно). Правда, есть исключения: например обычная сверхпроводимость, которую, впрочем, можно описать, заранее "отинтегрировав" фононы. Но в общем да, в общем случае все тут не просто, и каждый конкретный случай теребует отдельного анализа. Мало тут что можно сказть "вообще"...

[Freude]

Alex-Yu в сообщении #787788 писал(а):

Если гамильтониан сохраняет число частиц (а в ФТТ для электронов так), то все становится проще ...

В отличие от квантовой химии, как раз в задачах ФТТ число частиц чаще всего не сохраняется, поскольку обычно такие задачи касаются различного рода элементарных возбуждений - фотонных, экситонных, плазмонных, рекомбинация/генерация электронно-дырочных пар. Поэтому, собственно, написано так много книг о применении квантовой теории поля именно в ФТТ. Если число частиц сохраняется, то тогда задача решается в терминах электронной плотности (DFT) или слэтеровских детерминантов (или их суперпозиций - так называемых комбинаций электронных конфигураций), представляющих многочастичные волновые функции.

[photon]

Утундрий в сообщении #787761 писал(а):

Кстати, есть где-нибудь его хорошее изложение?

Не знаю, насколько всё упоминаемое хорошее, но вопрос этот уже всплывал в темах форума:
«электронная структура твердых тел»
«Математическое моделирование наноструктур»

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #787788 писал(а):

Если гамильтониан сохраняет число частиц (а в ФТТ для электронов так), то все становится проще.

Если мы смотрим на гамильтониан электронов, то всё вообще является одним-единственным полем.
Я говорю про гамильтониан, например, электронов + фононов. И уже сохранения числа частиц нет.
Кстати, если есть дырки, то и электроны не сохраняются: электрон-дырочные пары рождаются и исчезают, аналогично электрон-позитронным в вакууме в ФЭЧ.

Alex-Yu в сообщении #787788 писал(а):

Но на уровне адиабатического приближения фононы фактически "отвязаны" от электронов (уж во всяком случае можно учесть пертурбативно).

Это зависит от константы связи. А она зависит от вещества, в котором мы находимся. Есть вещества с сильным электрон-фононным взаимодействием (вот примеров не помню, но гуглем по УФН найти можно). И пертурбативно (aka по теории возмущений) ничего не получается.

Alex-Yu в сообщении #787788 писал(а):

Правда, есть исключения: например обычная сверхпроводимость, которую, впрочем, можно описать, заранее "отинтегрировав" фононы.

Вот каждое такое исключение можно отдельно "расковырять", с подсказками из эксперимента. Но общего метода вывода из первых принципов нет.

Впрочем, всё это вы знаете, я больше для rotozeev-а пишу.

Дочитал до ответа Freude, и увидел, что не сказал ничего нового...

[rotozeev]

Munin в сообщении #787741 писал(а):

rotozeev в сообщении #787472 писал(а):

Хакен - Квантовополевая теория твердого тела

Кстати, я заметил, вы её уже несколько лет читаете.

Дело в том, что задачи, которые я рассматривал, так получалось, описывались квазиклассическими уравнениями, где вся "квантовость" сидела в коэффициентах типа диффузии, проводимости и т.п., а математический аппарат - обычные дифференциальные уравнения в частных производных. Изучение полевых методов проводится так, для себя, без поставленной задачи для которой их нужно применять, и поэтому все это бессистемно и долго.

В общем, спасибо всем ответившим. Ответы дали понять, что мои вопросы имеют смысл.

[Утундрий]

Alex-Yu
Хотелось бы самого вводного. И хорошо бы - прямую ссылку. Я, грешным делом, только слыхал про сие самым краешком уха и таперича самолапно восстановить не в состоянии. Мне бы схему, аль чертёж. А там - или соображу или забью до времени.

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #788344 писал(а):

Хотелось бы самого вводного. И хорошо бы - прямую ссылку.

Ну так делаем поиск по автору на сайте УФН. Ну ладно, я вот сделал, заняло минуты полторы:

http://ufn.ru/ru/articles/2002/3/e/

Основы там простые и совершенно из этой лекции понятные. Теорема Хоэнберга-Кона так вообще полная банальность. Аналогичный прием, кстати, можно применять и в других случаях. И построить, к примеру, теорию функционала намагниченности в ферромагнитизме. Или еще что подобное. Кстати, полезно применительно к вопросу: "а что такое параметр порядка в теории Ландау и соответсвующее разложение?". Так вот, задача статфизики может быть сформулирована как задача минимизации того или иного термодинамического потнециала. Но никто нам не мешает сначала сделать условную минимизацию ПРИ ЗАДАННОМ неком среднем, а потом минимизовать по этому среднему. В полной аналогии с Хоэнбергом-Коном. И получится теория фазовых переходов Ландау Причем, это будет точная теория, но, естественно, лишь до тех пор, пока мы функционал не разложим в ряд и ограничимся несколькими лишь членами.

Помнится, очень давно, еще студентом, я никак не мог взять в толк, читая Паташинского-Покровского, а с какой такой радости сильносвязанные ФГ это и есть коэффициенты разложения Ландау. Из описанного выше рассуждения это очевидно после совсем небольшого количества простых выкладок Лагранжева добавка (условный минимум) к минимизуемому функционалу сразу превращается в совершенно обычный источник... Ну дальше просто.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Спасибо, воскурю по возможности.