Уравнения Маквелла

[Sicker]

По уравнениям Максвелла можно по заданному полю рассчитать плотность источников зарядов и/или токов и тд. А вот можно ли решить обратную задачу?
По заданным распределениям плотностей зарядов и/или токов рассчитать электрическое или магнитное поле в каждой точке
получается под ротором должно стоять неизвестное распределение полей, а справа известное распределение зарядов и токов... но ведь это уравнение имеет неоднозначное решение в силу , что если мы к найденному распределению полей(частному) прибавим поле, имеющее нулевой ротор, то это тоже будет решением
а таких полей, имеющих нулевой ротор, очень много, целый класс
получается уравнения Максвелла не полностью описывают электромагнитное поле?

[ewert]

Sicker в сообщении #786991 писал(а):

получается уравнения Максвелла не полностью описывают электромагнитное поле?

Дифференциальные уравнения вообще описывают задачу "не полностью", тем более дифференциальные уравнения в частных производных. Нужны ещё граничные условия. Например, если источники локализованы, то естественным граничным условием является стремление поля к нулю на бесконечности. Тогда решение единственно.

[Sicker]

ну а если мы добавим к этому полю поле, имеющее нулевой ротор и тоже равное нулю на бесконечности?

[ewert]

Sicker в сообщении #787013 писал(а):

ну а если мы добавим к этому полю поле, имеющее нулевой ротор и тоже равное нулю на бесконечности?

Соответственно, такого поля не бывает.

[Sicker]

а потенциальное поле?

-- 10.11.2013, 13:49 --

а если вместо ротора взять дивиргенцию?

[lucien]

Поле, имеющее нулевой ротор и обращающееся в нуль на бесконечности придумать несложно. Но для того, чтобы такое поле не изменяло всех уравнений Максвелла нужно еще потребовать равенство нулю дивергенции этого поля. А вот это уже действительно невозможно для неравного тождественно нулю поля.

[Munin]

Sicker в сообщении #786991 писал(а):

По уравнениям Максвелла можно по заданному полю рассчитать плотность источников зарядов и/или токов и тд. А вот можно ли решить обратную задачу?
По заданным распределениям плотностей зарядов и/или токов рассчитать электрическое или магнитное поле в каждой точке

Можно, но довольно сложно. Эта тема называется "решение уравнении Максвелла", и рассматривается в предмете
Уравнения математической физики
(математическая классификация - Дифференциальные уравнения в частных производных).

Раздел Колхоза / Mathematics / Mathematical physics, / Physics / Classical physics / Classical fields, / Physics / Electromagnetism (_MP_, _MPt_, _PCft_, _PE_).
Отдельно см. Ландау, Лифшиц. Теоретическая физика. 2. Теория поля.

Известно несколько методов решения уравнений типа уравнений Максвелла:
метод Фурье (метод стоячих волн), метод бегущих волн, метод функций Грина.
Один из наиболее общих и мощных методов - метод запаздывающих потенциалов (или потенциалов Лиенара-Вихерта, относящийся к классу методов функций Грина).
Также в теории широко применяется метод разложения в плоские волны, или в собственные колебания поля (это методы бегущих волн и стоячих волн соответственно).

Sicker в сообщении #786991 писал(а):

получается под ротором должно стоять неизвестное распределение полей, а справа известное распределение зарядов и токов... но ведь это уравнение имеет неоднозначное решение в силу , что если мы к найденному распределению полей(частному) прибавим поле, имеющее нулевой ротор, то это тоже будет решением

Верно, поэтому для дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) большую роль играет постановка задачи. Она должна оговаривать не только правую часть уравнений (в электродинамике - заряды и токи), но и различные граничные и начальные условия, условия на бесконечности, иногда - конечные условия (в конечный момент времени), и т. п. Существует большое разнообразие задач, некоторые допускают единственное решение, некоторые - множество решений (недоопределённая задача), некоторые - вообще не допускают решений из-за конфликтующих условий (переопределённая задача, некорректная задача).

Всё это изучается в курсах Уравнений математической физики.

[Munin]

Sicker
Помните, мы с вами обсуждали волновое уравнение?

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}u-c^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}u=0$$

Так вот. Чтобы такое уравнение имело одно и единственное решение, надо взять всю прямую $-\infty<x<+\infty,$ и задать на ней две величины: $u$ и $\partial u/\partial t.$ Тогда мы получим "мгновенный снимок" волн, бегущих вправо или влево. Включив часы, мы увидим, как эти волны бегут дальше: задав величины при $t=0,$ мы получим решение при всех $t>0.$ Это называется задача Коши с начальными условиями.

Но что, если нас интересует только часть прямой $x,$ или мы просто не можем знать, что там находится вдали? Тогда мы выбираем отрезок $x\in[a,b],$ и задаём начальный "снимок" на этом отрезке. Но возникает проблема: прошло некоторое время $t,$ и на наш отрезок могли прийти волны снаружи, из области $x<a$ или $x>b.$ Решение получается неопределённым (что это за волны? мы не знаем). Чтобы этого не было, мы должны как-то оговорить, что приходит снаружи, и проходит через концы отрезка - задать краевые условия. Например, мы можем задать условие $u(a)=0.$ Но теперь получается интересная вещь: если волна подходит к нашей границе изнутри нашего отрезка, то она не может через эту границу пройти! В результате, она отражается, идёт обратно, и из сложения прямой и обратной волны получается выполнение наложенного условия $u(a)=0.$ Получается, что мы задали отражающую границу. Можно изобрести и другие типы краевых условий. Например, можно "склеить" концы отрезка: $u(a)=u(b)$ - и тогда волны будут ходить, как в замкнутом кольце.

Если посмотреть на плоскость $(x,t),$ то мы сначала решали уравнение в верхней полуплоскости, задав 2 условия на границе - а потом выбрали полосу в верхней полуплоскости, и на некоторых границах задали 2 условия, а на некоторых - по 1 условию. Это даёт нам существование и единственность решения. Если бы мы на всех границах нашей полосы задали по 2 условия, то решения могли бы совсем исчезнуть, а если бы мы задали по 1 условию, то решений могло бы стать слишком много - с точностью до произвольного функционального слагаемого определённого вида. Есть правила, как выбирать границы и условия на них. Иногда, например, можно задать не полосу, а ограниченную область, например, прямоугольник - и тогда мы получаем уже не задачу Коши, а задачу с начальным и конечным моментом времени. Такая задача важна для вариационной формулировки механики и электродинамики, через принцип наименьшего действия.

Похожими свойствами обладает и уравнение Лапласа

$$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\varphi=0$$

Оно тоже может решаться с разными граничными условиями. Например, если мы зададим какую-то границу, и на этой границе положим $\varphi=\mathrm{const},$ то такая граница будет отвечать поверхности проводника. А если мы зададим величины производных $\partial\varphi/\partial x$ и $\partial\varphi/\partial y,$ то это будет отвечать заданному (или известному) вектору электрического поля. Здесь тоже есть разные постановки задач, совместные и несовместные сочетания граничных условий.

[Sicker]

познавательно
спасибо!