Формулы ananova

[ananova]

Deggial: отделено от темы Обсуждение OEIS

Приведу пару формул из только что открытой темы, которые помогут создать новые последовательности в OEIS.

ananova в сообщении #787050 писал(а):

Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $(x^2+py^{p-1})$, само представляется в таком же виде.

Здесь $p$ – простое число. Тогда выполняется:

$$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$

по аналогии с очень известной формулой:

$$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3(bd)^2)^2+3(ad^2 \mp cb^2)^2$$

Формула факторизации

$$x^p+y^p=(x+y)((x+y)(y^{p-2}-2y^{p-3}x+3y^{p-4} x^2-4y^{p-5} x^3+ ...+(p-2)y^{p-3}x-(p-1)x^{p-2})+px^{p-1})$$

Тут известное свойство есть, которое можно активно использовать- по модулю $p$:

$$x^p+y^p \equiv (x+y)$$

Поэтому

$$(x+y)(y^{p-2}-2y^{p-3}x+3y^{p-4} x^2-4y^{p-5} x^3+ ...+(p-2)y^{p-3}x-(p-1)x^{p-2}) \equiv 1 \mod{p}$$

Начать исследование можно с уравнения

$$2^p \pm 1^p$$

затем перейти к разнообразным вариантам

$$p^p \pm 1^p$$

и

$$(x^p \pm 1^p)/p$$

[ananova]

Извиняюсь, исправляю ошибку, которую допустил в известной формуле. Вот верный вариант:

$$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3bd)^2+3(ad \mp cb)^2$$

ananova в сообщении #787068 писал(а):

Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $(x^2+py^{p-1})$, само представляется в таком же виде.

В таком виде формулировка некорректная, но скобки в формулах пробовал раскрывать и на простых числах тестировал.


Надеюсь, что большинство следствий и формулировок, сделанных для
$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3bd)^2+3(ad \mp cb)^2$ будут справедливы для

$$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$

[Deggial]

ananova, убедительная просьба не писать ложные высказывания и ерунду в нормальные темы.
Обсуждение этих формул просьба вести в теме ТС.
Тема закрыта