2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 14:04 


15/12/05
754

(Оффтоп)

Если сегодня идей нет, то это не значит, что их не будет завтра.


Дополнение к первым страницам книги Эдвардса "Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел", изд. Мир, Москва, 1980.

В главе 1.7 – "Суммы двух квадратов и родственные вопросы" (страница 33) Эдвардс пишет:

… свойства представлений чисел в виде $(x^2+y^2)$, $(x^2+2y^2)$, $(x^2+3y^2)$ являются чем-то исключительным …

И далее рассматривается случай $(x^2 + 5y^2)$.

Я приведу формулу, которая позволяет рассматривать все эти случаи для простых чисел $p=2,3,5, 7, 11, ...$ в едином контексте. А именно - не как: $(x^2+py^2)$, а как $(x^2+py^{p-1})$.

Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $(x^2+py^{p-1})$, само представляется в таком же виде.

Здесь $p$ – простое число. Тогда выполняется:

$$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$
по аналогии с очень известной формулой:
$$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3(bd)^2)^2+3(ad^2 \mp cb^2)^2$$

Таким образом, с необходимыми, но известными "оговорками", если $(x^2+yx+y^2)=(x+y)(y-2x)+3y^2$ является кубом, а $(x+y)(y-2x)$ является квадратом, то число представимо в виде произведения подобных кубов и далее можно переходить к методу спуска, который использовал Эйлер для показателя степени 3 (ВТФ).

Если же в соседней теме #786585 число $d$ является квадратом и имеет общий вид представления $(p^2+3q^2)$:
$d=(x^2-\sqrt[3]{4} y z)(- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4$, то оно должно состоять из произведения квадратов, в подобном представлении. Примерно в этом направлении, как я понял, успешно ведет свое доказательство в алгебраическом поле Феликс Шмидель. (Возможно, он поправит).

По-моему, используя приведенную формулу и нижеследующую формулу факторизации, можно перейти к доказательству методом спуска и для более высоких степеней.

$$x^p+y^p=(x+y)((x+y)(y^{p-2}-2y^{p-3}x+3y^{p-4} x^2-4y^{p-5} x^3+ ...+(p-2)y^{p-3}x-(p-1)x^{p-2})+px^{p-1})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 15:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova в сообщении #787050 писал(а):
Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $(x^2+py^{p-1})$, само представляется в таком же виде.
Это просто неверно. И следующий далее текст
ananova в сообщении #787050 писал(а):
Здесь $p$ – простое число. Тогда выполняется:

$$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$
это утверждение, естественно, не доказывает. Что за ерунду Вы пишите, ananova?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 16:05 


15/12/05
754
nnosipov в сообщении #787078 писал(а):
это утверждение, естественно, не доказывает. Что за ерунду Вы пишите, ananova?


Прошу прощения за "кривую' формулировку. Я просто подставлял всякие числа и получал эквивалентный результат для левой и правой части. Ну, например, $a=3, b=4, c= 5, d=11$.

Надеюсь, что в следующий раз буду более корректен в формулировках. Последний вариант формулировки я позаимствовал из книжки, в которой комментировали свойства чисел вида $x^2+3y^2$.

(Оффтоп)

Ну мне простительно! Хорошо, что других предостерегли, что это ерунда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 17:47 


15/12/05
754
ananova в сообщении #787050 писал(а):
по аналогии с очень известной формулой:
$$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3(bd)^2)^2+3(ad^2 \mp cb^2)^2$$


Извиняюсь, исправляю ошибку, которую допустил в известной формуле. Вот верный вариант: $$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3bd)^2+3(ad \mp cb)^2$$

В этой формуле ошибок не нашел: $$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 17:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
ananova в сообщении #787132 писал(а):
В этой формуле ошибок не нашел

Ошибок может и нет, но в правой части выражение не имеет вид $x^2 + py^{p-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение10.11.2013, 17:54 


15/12/05
754
AV_77 в сообщении #787133 писал(а):
Ошибок может и нет, но в правой части выражение не имеет вид $x^2 + py^{p-1}$.


Спасибо, AV_77! Да, я заметил.. Поспешил с выводами. Но этот факт, я очень надеюсь, также можно будет использовать! Время покажет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 09:29 


15/12/05
754
ananova в сообщении #787136 писал(а):
Спасибо, AV_77! Да, я заметил.. Поспешил с выводами. Но этот факт, я очень надеюсь, также можно будет использовать! Время покажет!

ananova в сообщении #787050 писал(а):
Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $(x^2+py^{p-1})$, само представляется в таком же виде.

Здесь $p$ – простое число. Тогда выполняется:

$$(a^2+pb^{p-1}) (c^2+pd^{p-1})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$


Уточненная формулировка:

Произведение двух чисел, каждое из которых можно представить в виде $x^2+py^{[(p-1)/2]2}$, представляется в виде $x^2+py^2$. Иными словами - Если имеется число вида $x^2+py^2$, то вполне возможно, что он представлено произведением чисел вида $x^2+py^2$ (в более уточненном виде $x^2+py^{[(p-1)/2]2}$).

Здесь $p$ – простое число. Тогда выполняется:

$$(a^2+pb^{[(p-1)/2]2}) (c^2+pd^{[(p-1)/2]2})=(ac \pm p(bd)^{(p-1)/2})^2+p(ad^{(p-1)/2} \mp cb^{(p-1)/2})^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 10:55 


15/12/05
754
Тривиальное следствие

$$(a^2 \pm pb^{p-1})^2=(a^2 \pm pb^{p-1})^2+p(ab^{(p-1)/2} \mp ab^{(p-1)/2})^2=(a^2 \pm pb^{p-1})^2$$

Для $p=5$:

$$(a^2 \pm 5b^4)^2=(a^2 \pm 5b^4)^2+5(ab^2 \mp ab^2)^2=(a^2 \pm 5b^4)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 13:57 


15/12/05
754
ananova в сообщении #787452 писал(а):
Тривиальное следствие

$$(a^2 \pm pb^{p-1})^2=(a^2 \pm pb^{p-1})^2+p(ab^{(p-1)/2} \mp ab^{(p-1)/2})^2=(a^2 \pm pb^{p-1})^2$$

Для $p=5$:

$$(a^2 \pm 5b^4)^2=(a^2 \pm 5b^4)^2+5(ab^2 \mp ab^2)^2=(a^2 \pm 5b^4)^2$$


Отсюда можно сделать полезный вывод:

(Оффтоп)

(если никто не возражает)

Если квадрат $=$ $x^2+3y^2$, то число, возведенное в квадрат, не имеет такого же вида (представления): $x^2+3y^2$.
Например: $1^2+3 \cdot 780^2=1351^2$ не представимо как $(1^2+3b^2)^2$

Возвращаясь в соседнюю тему

ananova в сообщении #786585 писал(а):
Число $c$ - целое, поэтому можно получить уравнение (1) в следующем виде:

(1) $$x^6-4 (y z)^3=(x^2-\sqrt[3]{4} y z)((x^2-\sqrt[3]{4} y z)(- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$
Иначе так:
(1.1) $$x^6-4 (y z)^3=c (c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$
Cледует:
(1.2) $$ c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4 = (a^2)/c$$
Имеем сравнение:
(2) $$3x^4 \equiv (a^2)/c  \equiv d \mod{c}$$


Можно сделать вывод, что если $c$ $=$ квадрату и $c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)$ $=$ квадрату, то $d$ не является квадратом, т.к. если $d$ является квадратом, то $x^4$ не может быть квадратом, исходя из вышеприведенного следствия известной формулы.

-- Пн ноя 11, 2013 14:27:15 --

Также можно сделать вывод, что, если куб имеет вид $=$ $x^2+3y^2$, то число, возведенное в куб, не имеет такого же вида (представления): $x^2+3y^2$.

(Оффтоп)

(Я подумаю чуть позже над этим... Возможно, что спешу с формулировками).

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 15:04 


15/12/05
754
Уточнение формулировки

ananova в сообщении #787483 писал(а):
Если квадрат $=$ $x^2+3y^2$, то число, возведенное в квадрат, не имеет такого же вида (представления): $x^2+3y^2$.
Например: $1^2+3 \cdot 780^2=1351^2$ не представимо как $(1^2+3b^2)^2$


Если квадрат $=$ $x^2+3y^2$, то число, возведенное в квадрат, не имеет такого же вида (представления): $x^2+3y^2$.
Например: $1^2+3 \cdot 780^2=1351^2$. Здесь 1351 не представимо как $1^2+3b^2$ . Однако, не исключено (по-моему), что оно представимо, как произведение двух разных чисел вида $a^2 + 3b^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 18:33 


15/12/05
754
Глупость написал.

ananova в сообщении #787499 писал(а):
Однако, не исключено (по-моему), что оно представимо, как произведение двух разных чисел вида $a^2 + 3b^2$.


Для меня остается открытым вопрос (возможно имеющий простой ответ). Может ли квадрат числа вида $x^2+3y^2$ являться произведением двух чисел вида $x^2+3y^2$. Буду рад примеру или ссылке, что быстро развеет мои сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 18:53 


16/08/09
304
ananova в сообщении #787499 писал(а):
Если квадрат $=$ $x^2+3y^2$, то число, возведенное в квадрат, не имеет такого же вида (представления): $x^2+3y^2$.
Например: $1^2+3 \cdot 780^2=1351^2$. Здесь 1351 не представимо как $1^2+3b^2$ . Однако, не исключено (по-моему), что оно представимо, как произведение двух разных чисел вида $a^2 + 3b^2$.


Уважаемый ananova!
Если рассмотреть таблицу Эдвардса для чисел $x^2+3y^2$ до 258 из неё очевидно следует, что $x^2+3y^2 = z^2$, только если $x=y$ и и соответственно $z$ - чётное число.
$\\
$1^2+3\cdot1^2 =2^2
\\
2^2+3\cdot2^2 =4^2
\\
3^2+3\cdot3^2 =6^2
\\$
............................
$15^2+3\cdot15^2 =30^2$

Знаете ли вы другие решения х и у для $x^2+3y^2 = z^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 19:01 


15/12/05
754
Belfegor в сообщении #787559 писал(а):
Знаете ли вы другие решения х и у для $x^2+3y^2 = z^2$?


Да, спасибо, большое. Поспешил со своими выкладками. С другой стороны, как иначе пройти непознанное?

Вот нашел еще у Эдвардса на странице 45 самый простой квадратик - единичку: $$1= (48842^2-67 \cdot 67 \cdot 5967^2)^2= (48842^2+67 \cdot 5967^2)^2 - 67(2 \cdot 5967 \cdot 48842)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 19:17 


16/08/09
304
ananova в сообщении #787565 писал(а):
С другой стороны, как иначе пройти непознанное?


То есть вы не сталкивалась с другими решениями? Я, правильно, понял? Интересно, можно ли сделать вывод, что других решений и нет?

ananova в сообщении #787565 писал(а):
Вот нашел еще у Эдвардса на странице 45 самый простой квадратик - единичку: $$1= (48842^2-67 \cdot 67 \cdot 5967^2)^2= (48842^2+67 \cdot 5967^2)^2 - 67(2 \cdot 5967 \cdot 48842)^2$$


Опечатка. 67 лишнее. $1= (48842^2- 67 \cdot 5967^2)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории
Сообщение11.11.2013, 19:33 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Belfegor в сообщении #787580 писал(а):
Интересно, можно ли сделать вывод, что других решений и нет?
Нет, нельзя. Вообще, уравнение $x^2+3y^2=z^2$ легко решается в целых числах $x$, $y$, $z$ (например, можно воспользоваться методом секущих).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group