Монотонность многочленов Бернштейна

[Unknown00056]

Как доказать следующие свойство многочленов Бернштейна? Если $f$ - монотонна на $[0,1]$ то соответствующий многочлен Бернштейна $B_n(x,f)=\sum\limits_{k=0}^nf(\frac k n)C ^k_n x^k (1-x)^{n-k}$ также монотонен на $[0,1]$.
Пробовал продифференцировать многочлен. Но это ничем не помогло.

[ewert]

А почему не помогло? После очевидного преобразования двух сумм, получающихся после дифференцирования, выходит $B'_n(x,f)=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(f(\frac {k+1} n)-f(\frac k n)\right)C ^k_{n-1} x^k (1-x)^{n-1-k}$.

[Unknown00056]

Потому что минус потерял между суммами и немедленно забросил это дело
$B'_n(x,f)=\sum\limits_{k=0}^nf(\frac k n)C_n^k k x^{k-1}(1-x)^{n-k} - \sum\limits_{k=0}^nf(\frac k n)C_n^k (n-k)x^k(1-x)^{n-k-1} = $
$ = \sum\limits_{k=1}^nf(\frac k n)C_n^k k x^{k-1}(1-x)^{n-k} - \sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\frac k n)C_n^k (n-k)x^k(1-x)^{n-k-1} = $
$ = \sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\frac {k+1} n)C_n^{k+1} (k+1) x^k(1-x)^{n-k-1} - \sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\frac k n)C_n^k (n-k)x^k(1-x)^{n-k-1} = $
$ = n\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\frac {k+1} n)C_{n-1}^k x^k(1-x)^{n-k-1} - n\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\frac k n)C_{n-1}^k x^k(1-x)^{n-k-1} = $
$ = n\sum\limits_{k=0}^{n-1}(f(\frac {k+1} n) - f(\frac k n))C_{n-1}^k x^k(1-x)^{n-k-1}$.
$x^k(1-x)^{n-k-1} \ge 0, \forall x \in [0,1]$ т.е. знак производной зависит от $(f(\frac {k+1} n) - f(\frac k n))$. А в следствии монотонности самой функции эта разность имеет одинаковый знак или равна 0.