Функция плотности распределения

[Cage]

Помогите, пожалуйста, найти ответы на вопросы...

Функция плотности вероятности (функция Гаусса) зависит от двух параметров: EV (мат. ожидание) и SD (стандартное отклонение).

1.
Возможно ли произведение двух функций плотности вероятности представить в виде третьей функции плотности вероятности со своими EV и SD?
$f_1(EV_1,SD_1) \cdot f_2(EV_2,SD_2) = f_3(EV_3,SD_3)$
Есть ли простой способ вычислить $EV_3$ и $SD_3$?

2.
Если ответ на первый вопрос отрицательный, тогда есть ли простой способ найти максимум функции произведения двух функций плотности вероятности?

3.
Как связаны между собой функция плотности вероятности и доверительный интервал для мат. ожидания?

Доверительный интервал сужается при увеличении объема выборки (из-за $\sqrt n$ в знаменателе). Т.е. чем больше объем выборки, тем к мат. ожиданию больше доверия.

Почему функция плотности вероятности не зависит от объема выборки (а только от EV и SD)?
Почему она не вытягивается вверх в точке мат. ожидания при увеличении объема выборки?

Есть ли в мат. статистике какая-то функция-аналог, которая зависела бы от трех параметров:
- мат. ожидания,
- стандартного отклонения,
- объема выборки
и описывала бы то, что случайная величина принимает значение X с вероятностью Y ?

[Александрович]

1. Возьмите и перемножьте.

[ИСН]

1. Здесь надо сперва задаться другим вопросом. Шёл я по улице, смотрю - лежит функция; подобрал. Как мне понять, является ли она плотностью вероятности или нет?
3. А это потому, что функция описывает то, что должна, и не описывает того, чего не должна. Как судмедэксперт пишет "...скончался от тупой травмы черепа...", и не делает предположений, что её нанесло - упавший кирпич, асфальт, или убийца с дубиной. Может, Вы ещё хотите, чтобы плотность вероятности зависела от порядка, в котором мы берём элементы выборки? От того, какой рукой мы их берём - правой или левой? Нет? А где остановиться?

[provincialka]

3. Не указано, плотность распределения чего имеется ввиду. Генеральной совокупности или какой-то функции от выборки?

[Cage]

Александрович в сообщении #786908 писал(а):

1. Возьмите и перемножьте.

Возможно, я не очень понятно написал. Меня не интересует результат произведения в виде конкретной функции. Меня интересует, будет ли произведение тоже функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса. А точнее, меня интересует возможность вычислить $EV_3$ и $SD_3$ зная $EV_1$, $SD_1$, $EV_2$, $SD_2$.

Когда-то я уже пробовал перемножать, но представить полученное выражение в виде функции Гаусса с выделенными $EV_3$ и $SD_3$ у меня не получилось. Предполагаю, что произведение двух функций Гаусса само функцией Гаусса уже не будет. Это я и хотел уточнить в пункте 1.

ИСН в сообщении #786934 писал(а):

3. А это потому, что функция описывает то, что должна, и не описывает того, чего не должна.

Я и пытаюсь разобраться в том, что же она описывает .

Что касается моего первого вопроса из пункта 3...
Я правильно понимаю, что функция плотности вероятности показывает, с какой вероятностью случайная величина попадает в отрезок $[a,b]$?
А доверительный интервал для мат. ожидания отвечает на вопрос, с какой вероятностью мат. ожидание попадает в отрезок $[a,b]$?

В этом вся разница? Случайная величина принимает разные значения с заданной вероятностью, и это не зависит от объема выборки. А оценка мат. ожидания от объема выборки зависит: чем больше выборка, тем точнее можно определить мат. ожидание (к нему больше доверия). Все ли тут верно?

Тогда мне, видимо, нужна не плотность вероятности для случайной величины, а что-то типа плотности вероятности для мат. ожидания. То есть функция, которая будет описывать вероятность для разных значений мат. ожидания. И она будет зависеть от EV, SD и n (объема выборки). Не подскажете, как эта функция называется и где можно что-либо почитать о ней?

provincialka в сообщении #786970 писал(а):

3. Не указано, плотность распределения чего имеется ввиду. Генеральной совокупности или какой-то функции от выборки?

Вы задали очень правильный вопрос. Как сейчас неожиданно выяснилось, мне нужна плотность вероятности для мат. ожидания .

[--mS--]

Cage в сообщении #787203 писал(а):

Я правильно понимаю, что функция плотности вероятности показывает, с какой вероятностью случайная величина попадает в отрезок $[a,b]$?

Можно и так сказать. Не проще открыть определение? То же самое относится к следующему вопросу, только в десять раз сильнее.

Cage в сообщении #787203 писал(а):

А доверительный интервал для мат. ожидания отвечает на вопрос, с какой вероятностью мат. ожидание попадает в отрезок $[a,b]$?

Нет. Матожидание - число, у него нет плотности вероятности (в обычном смысле), оно не может куда-то попадать или не попадать, кроме как с нулевой или единичной вероятностью. От выборки зависят границы доверительного интервала. Именно они тут случайны, именно они тут могут куда-то попадать или нет. В частности, интервал с этими границами может накрывать или не накрывать матожидание. И совершенно не обязательно, чтобы при большей выборке интервал был короче, чем при меньшей. Смотря как строить.

Cage в сообщении #787203 писал(а):

Тогда мне, видимо, нужна не плотность вероятности для случайной величины, а что-то типа плотности вероятности для мат. ожидания. То есть функция, которая будет описывать вероятность для разных значений мат. ожидания.

Откройте книжку, почитайте про доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Например, хоть http://teorver-online.narod.ru/teorver60.html . Пока что совершенно непонятно, что вообще Вы хотите и, главное, зачем.

[Александрович]

Cage в сообщении #787203 писал(а):

Александрович в сообщении #786908 писал(а):

1. Возьмите и перемножьте.

Возможно, я не очень понятно написал. Меня не интересует результат произведения в виде конкретной функции. Меня интересует, будет ли произведение тоже функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса. А точнее, меня интересует возможность вычислить $EV_3$ и $SD_3$ зная $EV_1$, $SD_1$, $EV_2$, $SD_2$.

Когда-то я уже пробовал перемножать, но представить полученное выражение в виде функции Гаусса с выделенными $EV_3$ и $SD_3$ у меня не получилось. Предполагаю, что произведение двух функций Гаусса само функцией Гаусса уже не будет. Это я и хотел уточнить в пункте 1.

Получается. Правда придётся новую функцию перенормировать.

[Cage]

--mS-- в сообщении #787226 писал(а):

Матожидание - число, у него нет плотности вероятности (в обычном смысле), оно не может куда-то попадать или не попадать, кроме как с нулевой или единичной вероятностью. От выборки зависят границы доверительного интервала. Именно они тут случайны, именно они тут могут куда-то попадать или нет.

Доверительный интервал для мат. ожидания нормальной выборки:

$\mathbb{P} \left( \bar{X} - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqslant \mu \leqslant \bar{X} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = \alpha$

Для заданной вероятности $\alpha$ можно вычислить границы доверительного интервала для мат. ожидания:

$a = \bar{X} - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$b = \bar{X} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

А я смотрю на эти формулы с другой точки зрения: для заданных границ интервала можно вычислить вероятность, с которой мат. ожидание попадает в интервал. Например, для правой границы интервала:

$\bar{X} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = b$

$z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = b - \bar{X}$

$z_{\frac{1-\alpha}{2}} = \frac {(b - \bar{X}) \sqrt{n}} {\sigma}$

По квантилю $z_{\frac{1-\alpha}{2}}$ определяем вероятность $\alpha$. График зависимости вероятностей от границ доверительных интервалов - это то, что мне и нужно. Его я и назвал "плотностью вероятности для мат. ожидания".

Вы правильно говорите, что мат. ожидание - это число. Но его истинное значение неизвестно. Известно только выборочное среднее $\bar{X}$. А относительно мат. ожидания можно только строить вероятностные предположения. Можно сказать, что в этом смысле мат. ожидание - это нечеткое число, которое описывается функцией принадлежности.

Я надеялся, что все это уже придумано до меня, и у нужной мне функции есть название и подробное описание с формулами и свойствами. Возможно, то что меня интересует, относится даже не к теории вероятностей, а к теории нечёткой меры, о которой я буквально только что узнал .

[Александрович]

Не матожидание попадает в случайный доверительный интервал, а интервал накрывает м.о. с заданной доверительной вероятностью.

[provincialka]

Функция, которая по квантилю находит вероятность - это функция распределения, а не плотность. $P(\xi<x)=\alpha = F(x)$, плотность распределения - производнаяот $F$. Но вам, похоже, нужно что-то другое?

[--mS--]

Cage в сообщении #788107 писал(а):

График зависимости вероятностей от границ доверительных интервалов - это то, что мне и нужно. Его я и назвал "плотностью вероятности для мат. ожидания".

Не смущает, что с одной и той же вероятностью у доверительных интервалов могут быть совсем разные границы? Например,

$$\mathbb{P} \left( \bar{X} - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqslant \mu \leqslant \bar{X} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = \alpha,$$

$$\mathbb{P} \left( X_1 - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \sigma \leqslant \mu \leqslant X_1 + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \sigma \right) = \alpha$$

или, скажем,

$$\mathbb{P} \left( \frac{X_2+X_{11}}{2} - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \leqslant \mu \leqslant \frac{X_2+X_{11}}{2} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \right) = \alpha.$$