топология (срочно!)

[elena_t]

Дано множество $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} $ и $2^X$-количество всех подмножеств $X$. Также известна функция $f: 2^X \to [0,1]$ и ее свойства:
$f(\emptyset)=0$
$f(X)=1$
$f(A\cup B)=max\{f(A), f(B)\}$
Доказать, что $\exists \varphi: X \to [0,1]$, для какой
$f(A)=max\{ \varphi (a) | a \in A\}$
[/math][/math]

[Руст]

elena_t писал(а):

Дано множество $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} $ и $2^X$-количество всех подмножеств $X$. Также известна функция $f: 2^X \to [0,1]$ и ее свойства:
$f(\emptyset)=0$
$f(X)=1$
$f(A\cup B)=max\{f(A), f(B)\}$
Доказать, что $\exists \varphi: X \to [0,1]$, для какой
$f(A)=max\{ \varphi (a) | a \in A\}$
[/math][/math]

В качестве $\varphi : X\to [0,1]$ годится ограничение f на одноточечные подмножества. Однако это свойство неверно для бесконечного множества X даже для бинарных отображений.