999 дробей

[Ktina]

Дано выражение, содержащее 999 дробей:

$$\dfrac{1}{2}\text{*}\dfrac{2}{3}\text{*}\dfrac{3}{4}\text{*}\dots\text{*}\dfrac{999}{1000}$$

Можно ли, заменив все звездочки знаками арифметических действий, получить выражение, равное нулю?
(С. Токарев)

У меня созрело очень красивое решение этой задачи, но покамест повременю

[hippie]

Ответ: можно.

3 умножения, 5 делений, минус, 39 умножений, минус, 199 умножений, плюс, 249 умножений, минус, 499 умножений.

$\frac{1}{5}:\frac{5}{10}-\frac{10}{50}-\frac{50}{250}+\frac{250}{500}-\frac{500}{1000} = \frac{1}{5}:\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0.$

[kknop]

Я обошелся без делений.
$\frac12-\frac{2}{10}+\frac{10}{40}-\frac{40}{100}+\frac{100}{400}-\frac{400}{1000}$
Складываются $\frac12+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$, вычитаются $\frac{4}{10}+\frac{4}{10}+\frac{2}{10}=1$.

Еще одна версия -
$\frac12+\frac24+\frac{4}{10}-\frac{10}{20}-\frac{20}{100}-\frac{100}{200}-\frac{200}{1000}$. Здесь ключевой факт - $\frac{4}{10}-\frac{20}{100}-\frac{200}{1000}=0$.

[Ktina]

У меня тоже без делений.

$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dots\cdot\dfrac{24}{25}+\dfrac{25}{26}\cdot\dfrac{26}{27}\cdot\dots\cdot\dfrac{124}{125}-\dfrac{125}{126}\cdot\dfrac{126}{127}\cdot\dots\cdot\dfrac{249}{250}+\dfrac{250}{251}\cdot\dfrac{251}{252}\cdot\dots\cdot\dfrac{499}{500}-\dfrac{500}{501}\cdot\dfrac{501}{502}\cdot\dots\cdot\dfrac{999}{1000}=0$$

[kknop]

Ktina в сообщении #786285 писал(а):

У меня тоже без делений.

$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dots\cdot\dfrac{24}{25}+\dfrac{25}{26}\cdot\dfrac{26}{27}\cdot\dots\cdot\dfrac{124}{125}-\dfrac{125}{126}\cdot\dfrac{126}{127}\cdot\dots\cdot\dfrac{249}{250}+\dfrac{250}{251}\cdot\dfrac{251}{252}\cdot\dots\cdot\dfrac{499}{500}-\dfrac{500}{501}\cdot\dfrac{501}{502}\cdot\dots\cdot\dfrac{999}{1000}=0$$

В вашем решении можно вместо 1/2 - 2/5 + 5/25 написать 1/2 + 2/10 - 10/25, остальные слагаемые те же.

А где эта задачка предлагалась? Я поискал в задачах Токарева на problems.ru, но не нашел

[Ktina]

kknop
Предлагалась в двух местах: здесь (VIII класс, задача №5) и здесь (задача №8.8).

[kknop]

Ktina в сообщении #786328 писал(а):

kknop
Предлагалась в двух местах: здесь (VIII класс, задача №5) и здесь (задача №8.8).

А, ну это одно и то же место - областные олимпиады 2001-02. То-то я вижу что-то знакомое.
Посмотрел в книжку, там тоже решение с шестью слагаемыми. А на самом деле можно решить даже с четырьмя слагаемыми, и несложно: 1/4 - 4/10 + 10/50 - 50/1000 = 0.