2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 00:18 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Дано выражение, содержащее 999 дробей: $$\dfrac{1}{2}\text{*}\dfrac{2}{3}\text{*}\dfrac{3}{4}\text{*}\dots\text{*}\dfrac{999}{1000}$$
Можно ли, заменив все звездочки знаками арифметических действий, получить выражение, равное нулю?
(С. Токарев)

У меня созрело очень красивое решение этой задачи, но покамест повременю :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 01:44 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: можно.

3 умножения, 5 делений, минус, 39 умножений, минус, 199 умножений, плюс, 249 умножений, минус, 499 умножений.

$\frac{1}{5}:\frac{5}{10}-\frac{10}{50}-\frac{50}{250}+\frac{250}{500}-\frac{500}{1000} = \frac{1}{5}:\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 08:56 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Я обошелся без делений.
$\frac12-\frac{2}{10}+\frac{10}{40}-\frac{40}{100}+\frac{100}{400}-\frac{400}{1000}$
Складываются $\frac12+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$, вычитаются $\frac{4}{10}+\frac{4}{10}+\frac{2}{10}=1$.

Еще одна версия -
$\frac12+\frac24+\frac{4}{10}-\frac{10}{20}-\frac{20}{100}-\frac{100}{200}-\frac{200}{1000}$. Здесь ключевой факт - $\frac{4}{10}-\frac{20}{100}-\frac{200}{1000}=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 10:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
У меня тоже без делений.
$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dots\cdot\dfrac{24}{25}+\dfrac{25}{26}\cdot\dfrac{26}{27}\cdot\dots\cdot\dfrac{124}{125}-\dfrac{125}{126}\cdot\dfrac{126}{127}\cdot\dots\cdot\dfrac{249}{250}+\dfrac{250}{251}\cdot\dfrac{251}{252}\cdot\dots\cdot\dfrac{499}{500}-\dfrac{500}{501}\cdot\dfrac{501}{502}\cdot\dots\cdot\dfrac{999}{1000}=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 13:23 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Ktina в сообщении #786285 писал(а):
У меня тоже без делений.
$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dots\cdot\dfrac{24}{25}+\dfrac{25}{26}\cdot\dfrac{26}{27}\cdot\dots\cdot\dfrac{124}{125}-\dfrac{125}{126}\cdot\dfrac{126}{127}\cdot\dots\cdot\dfrac{249}{250}+\dfrac{250}{251}\cdot\dfrac{251}{252}\cdot\dots\cdot\dfrac{499}{500}-\dfrac{500}{501}\cdot\dfrac{501}{502}\cdot\dots\cdot\dfrac{999}{1000}=0$$


В вашем решении можно вместо 1/2 - 2/5 + 5/25 написать 1/2 + 2/10 - 10/25, остальные слагаемые те же.

А где эта задачка предлагалась? Я поискал в задачах Токарева на problems.ru, но не нашел

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 16:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
kknop
Предлагалась в двух местах: здесь (VIII класс, задача №5) и здесь (задача №8.8).

 Профиль  
                  
 
 Re: 999 дробей
Сообщение08.11.2013, 22:33 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Ktina в сообщении #786328 писал(а):
kknop
Предлагалась в двух местах: здесь (VIII класс, задача №5) и здесь (задача №8.8).


А, ну это одно и то же место - областные олимпиады 2001-02. То-то я вижу что-то знакомое.
Посмотрел в книжку, там тоже решение с шестью слагаемыми. А на самом деле можно решить даже с четырьмя слагаемыми, и несложно: 1/4 - 4/10 + 10/50 - 50/1000 = 0.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group