Уравнения Максвелла в дифференциальных формах: глюк...

[Maximpg]

Уткнулся и не могу найти у себя ошибку.
Читаю Райдера, "Квантовая теория поля", самый конец второй главы.
Там говорится, что

$$F=E_xdx\wedge dt+...+B_zdx\wedge dy+...$$

Далее берется дуальная форма и получается она вида

$$\star F=-E_xdy\wedge dz+...+B_zdz\wedge dt+...$$

В упор не понимаю, почему появился относительный знак минус между электрической и магнитной составляющими. Ведь $\star dx\wedge dt$ даст вклад типа $\varepsilon_{1023}dy\wedge dz$, а $\star dx\wedge dy$, соответственно, должно быть равно $\varepsilon_{1230}dz \wedge dt$, а $\varepsilon_{1230}=\varepsilon_{1023}$.

В Мизнер-Торн-Уилере то же самое с точностью до общего знака, зависящего, насколько понимаю, от конкретного определения антисимметричного тензора.

[g______d]

Вы учли, что определение зависит от сигнатуры пространства и, в частности, в пространстве Минковского $\star^2=-1$ для 2-форм?

[Maximpg]

Нет, пользовался только приведенным там же определением:

$$ \star(dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge...\wedge dx^{i_p})=\frac{1}{(n-p)!}\varepsilon_{i_1i_2...i_p i_{p+1}...i_n}dx^{i_{p+1}}\wedge dx^{i_{p+2}}\wedge...\wedge dx^{i_n},$$

полагая его достаточным, видимо, наивно.

[g______d]

А там случайно не задан этот $\varepsilon$ сначала с верхними значками, а потом сказано, что их надо опустить?

-- 08.11.2013, 08:49 --

Нет, я глупость написал.

[fizeg]

Дело в верхних-нижних значках. Сравните где сидят значки слева и справа в вашем определении.

[Maximpg]

Вы имеете в виду, что правильно и ковариантно должно быть

$$ \star(dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge...\wedge dx_{i_p})=\frac{1}{(n-p)!}\varepsilon_{i_1i_2...i_p i_{p+1}...i_n}dx^{i_{p+1}}\wedge dx^{i_{p+2}}\wedge...\wedge dx^{i_n}? $$

Похоже, что в этом случае действительно получается, что требуется.