Производная по матричному аргументу

[Утундрий]

Вы не уловили иронию. Посчитайте $\left. {\frac{d}{{dt}}\operatorname{Exp} \left( {\hat A + t\hat A} \right)} \right|_{t = 0} $ и сравните с результатом, полученным по "обычным правилам".

[g______d]

Утундрий в сообщении #786201 писал(а):

Вы не уловили иронию. Посчитайте $\left. {\frac{d}{{dt}}\operatorname{Exp} \left( {\hat A + t\hat A} \right)} \right|_{t = 0} $ и сравните с результатом, полученным по "обычным правилам".

Боюсь что не уловил. По какому правилу ее надо считать, чтобы получилось что-то отличное от $Ae^{A}$?

-- 08.11.2013, 03:37 --

Если Вы имеете в виду формулу со следом, то след не является функцией от матрицы (в том смысле, который обсуждался выше), поэтому его нужно дифференцировать аккуратно.

-- 08.11.2013, 03:38 --

И еще я этой фразы не понял:

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):

Формальное же $\left( {\hat A^n } \right)^\prime = n\hat A^{n - 1} $ можно применять только к полному ряду.

[Утундрий]

g______d в сообщении #786205 писал(а):

Боюсь что не уловил. По какому правилу ее надо считать, чтобы получилось что-то отличное от $Ae^{A}$?

А почему должно получиться именно это? Давайте возьмём матрицы 1x1

[g______d]

Ну взяли, получили $\frac{d}{dt}(e^{a+ta})=ae^{a+ta}$, или я дифференцировать разучился?

[Утундрий]

А теперь $\frac{{de^a }}{{da}}=...$

[vlad_light]

(Оффтоп)

Извините, что влажу с глупыми вопросами. А нельзя ли определить производную так:

Цитата:

Функция $g:\mathrm {Mat}_{n\times n}(\mathbb R)\to \mathrm {Mat}_{n\times n}(\mathbb R)$ называется левой(правой) производной функции $f:\mathrm {Mat}_{n\times n}(\mathbb R)\to \mathrm {Mat}_{n\times n}(\mathbb R)$ в точке $A$, если

$$\forall B\in \mathrm {Mat}_{n\times n}(\mathbb R ):\left.\frac{d}{dt}f(A+tB)\right |_{t=0}=g(A)B\quad (=Bg(A))$$

Тогда было бы всё красиво $\frac{d}{da}e^a=e^a$.

[Утундрий]

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #786219 писал(а):

А нельзя ли определить производную так

Боюсь, что для большинства случаев $B$ застрянет в печёнках у $g$ и её никоим образом нельзя будет извлечь ни вправо ни влево.

[g______d]

Утундрий в сообщении #786212 писал(а):

А теперь $\frac{{de^a }}{{da}}=...$

Ну так получится $e^{a}$, и никакого противоречия я здесь не вижу. Есть же разница между производной функции многих переменных (т. е. дифференциалом отображения) и ее значением на касательном векторе/направлении.

Т. е., как правильно заметил vlad_light, у любого отображения из матриц в матрицы есть дифференциал, который является линейным отображением между касательными пространствами. Касательное пространство к матрицам можно отождествить с самим пространством матриц. Т. е., вообще говоря, это линейное отображение между двумя пространствами матриц размерности $n^2$. Иногда его можно написать в виде умножения на матрицу слева или справа, но не всегда, обычно оно "застревает между". Но для экспоненты в одномерном случае это будет умножение на $e^a$. Т. е. $\frac{\partial e^a}{\partial a} b=e^a b$, и в этом смысле понимается запись $\frac{\partial e^a}{\partial a}=e^a$. В общем случае для экспоненты это не так (точная формула с интегралом есть парой страниц выше; видно, что это отображение, линейное по $B$, но, вообще говоря, не являющееся умножением $B$ на матрицу того же размера). Но если посмотреть на сужение дифференциала экспоненты на подпространство матриц, коммутирующих с $a$, то получится $e^a$.

[Утундрий]

g______d в сообщении #786224 писал(а):

если посмотреть на сужение дифференциала экспоненты на подпространство матриц, коммутирующих с $a$, то получится $e^a$.

Последнее непонятно.

[g______d]

Значение дифференциала функции $A\mapsto e^A$ на матрице $B$ есть

$$ \left.\frac{d}{dt}e^{A+tB}\right|_{t=0}. $$

Если $A$ и $B$ коммутируют, то можно вынести $e^A$ за скобки и получить производную в нуле выражения $e^{tB}$, которая равна $B$. Т. е. значением дифференциала на матрице $B$ будет $e^A B$, и дифференциал является оператором умножения на матрицу $e^A$ в пространстве матриц.

[Утундрий]

Если уж мы взялись "отщеплять" из результата $B$, то в общем случае у нас получится некий четырехиндексный зверь, который непонятно чем сильно лучше совокупности $n^4$ производных $n^2$ функций $n^2$ переменных.

[g______d]

Ну да, но отображения $f$ тоже не произвольные, а изначально скалярные функции одной переменной. Поэтому четырехиндексный объект иногда может сворачиваться в объект с меньшим числом индексов или допускающий более прямое описание.

[Утундрий]

Надо будет как-нибудь подумать, когда именно случается такое иногда...