Оценка матожидания

[vlad_light]

Задан случайный процесс $\mathbf X_t, t\in \mathbb R$ с конечными моментами. Как оценить мат. ожидание этого процесса?
Если у нас есть несколько реализаций процесса $\{x_1(t),...,x_n(t)\}$, то мы можем оценить как выборочное среднее. Можно ли оценить МО по одной реализации? Я пока придумал такую оценку: $\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1t\int _{[0,t]}x(\tau )d\tau$ но не могу доказать её несмещённость. Подскажите, с чего начать? (и верна ли моя оценка?)

[profrotter]

vlad_light в сообщении #785682 писал(а):

Можно ли оценить МО по одной реализации?

Можно, если процесс эргодический.

vlad_light в сообщении #785682 писал(а):

Подскажите, с чего начать?

С определения несмещённой оценки.

[vlad_light]

Цитата:

Можно, если процесс эргодический.

Это тот, у которого МО не зависит от времени? Тогда

$$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=E\frac 1t\int _{[0,t]}x(q)dq=\frac 1t\int _{[0,t]}Ex(q)dq=m\frac 1t\int _{[0,t]}dq=m$$

(тут т. Фубини использовал).
Можно так показать

$$\int _{[0,t]}m(q)dq=tm(t),m(t)-m(0)=m(t)+tm'(t),tm'(t)+m(0)=0\Rightarrow m(t)=\operatorname{const}$$

что для других процессов оценка будет смещённой?

-- Чт ноя 07, 2013 12:48:06 --

Ой, это я ерунду написал. Я хотел спросить, как показать, что для других процессов нет несмещённых оценок МО по одной реализации?

[profrotter]

Ну вот Вы и сами хорошо разбираетесь. Думаю в вашей задаче с эргодичностью я даже перебрал - достаточно, чтобы математическое ожидание не изменялось во времени.

Я бы оформил это несколько иначе. В ваших обозначениях, как я понял, $\mathbf X_t$ случайный процесс, а $x(t)$ - его реализация. Так вот сама оценка является случайной величиной и определяется как $\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}\mathbf X_tdt$, где $T$ - время наблюдения реализации. Её математическое ожидание

$$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=E\frac 1T\int\limits_{0}^{T}\mathbf X_tdt=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}E\mathbf X_tdt=m.$$

А вот конкретное значение значение оценки, которое мы получим по результатам наблюдения реализации, которая нам досталась в опыте со случайным процессом

$$\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}x(t)dt$$

. К нему то математическое ожидание применять незачем.

Если требуется "показать", что для процессов с непостоянным математическим ожиданием эта оценка не является несмещённой - то уже показали - интеграл никуда не спрячется и всё тут. Но вот можно ли это считать доказательством - затрудняюсь.

[vlad_light]

Цитата:

сама оценка является случайной величиной

я думал, что оценка является случайным процессом. Именно из этих соображений я и писал t маленькое, как в описании процесса.

Цитата:

эта оценка не является несмещённой

то, что эта оценка является смещённой -- понятно. Но ведь бывают и другие оценки.

(Оффтоп)

Я понимаю, что можно взять учебник и всё это там прочитать. Но я хотел бы прийти к этому сам, не прибегая к "жульничеству". Мне так проще в будущем понимать доказательства более сложных теорем.

[profrotter]

Ну пусть $t$, пусть случайный процесс.

Оценок можно придумать сколько угодно. Просто кроме несмещённости к ним обычно предъявляют другие требования, например, минимальную дисперсию, также требования, связанные с ассимтотикой, и обычно занимаются поиском оптимального алгоритма оценивания, который лучше всех этим требованиям удовлетворяет. Об этом расскажут в учебнике.

[profrotter]

Может быть так будет лучше оформить: Предположим, что рассматриваемая оценка не смещённая, тогда

$$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1t\int\limits_{0}^{t}m(x)dx=m(t).$$

Продиффиренцируем полученное выражение

$$m(t)=m(t)+tm'(t),$$

откуда $m'(t)=0$ и $m(t)=\operatorname{const}$.

[vlad_light]

А куда $m(0)$ делась при дифференцировании интеграла?

[profrotter]

vlad_light в сообщении #786823 писал(а):

А куда $m(0)$ делась при дифференцировании интеграла?

Трудный вопрос. $\int\limits_{0}^{t}f(x)dx=F(t)-F(0)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, то есть $f(x)=F'(x)$. Мне думается, что дифференцирование интеграла, с учётом линейности производной, выглядит так: $\left(\int\limits_{0}^{t}f(x)dx\right)'=F'(t)-\left(F(0)\right)'=f(t)$.

Да и насчёт оценок. Рассматривают, например, осреднение процесса

$$\mu(t)=\frac 1T\int\limits_{t}^{t+T}X(\tau)d\tau,$$

где $T$ такой интервал, что математическое ожидание процесса можно считать неизменным, то есть $m(t)|_{t\in[t,t+T]}\approx m(t)$.

Когда можно считать, что математическое ожидание процесса изменяется во времени медленно, а реализации процесса - быстро (центрированная составляющая процесса - широкополосный стационарный шум), то математическое ожидание процесса получают путём фильтрации. Несмещённость обеспечивается выбором фильтра с импульсной характеристикой $h(t)$, локализованной на интервале такой длительности $T$, что можно считать $m(t)|_{t\in[t,t+T]}\approx m(t)$. Тогда

$$\mu(t)=\frac {\int\limits_{0}^{+\infty}X(\tau)h(t-\tau)d\tau}{\int\limits_{0}^{+\infty}h(t-\tau)d\tau}.$$

Осреднение - частный случай фильтрации, когда импульсная характеристика фильтра прямоугольна. Но это всё уже не математика вовсе, а скорее практика.