Подмножество группы перестановок

[FFFF]

Пусть $n$ - чётное, $P_n=\{1,..,n\}$ - множество из $n$ элементов и $f:P_n \to P_n$ - биекция, такая что $f^2=\mathrm{id}_{P_n}$ и $f$ не имеет неподвижных точек. Интересует, какие операции можно придумать на множестве всех таких $f$. Это множество будет подмножеством группы перестановок $S_n$, но композиция, конечно, выводит из этого множества. Может что-нибудь хитрое можно всё-таки придумать?

[provincialka]

Каждое $f$ - это разбиение множества на пары элементов. Вы хотите придумать операцию, применимую к любой паре функций $f$?

[FFFF]

provincialka
да. Ещё хотелось бы операцию, применимую к каждой $f$ отдельно, что угодно. Возможно, такие сложно будет подыскать, можно попробовать расширить множество всех $f$ и разрешить операции над биекциями разных множеств $P_n$, т.е. не фиксировать $n$.
Одна такая очевидная операция - просто применение к отдельным кускам: $(f:P_n\to P_n) \times (g:P_m\to P_m)\to (f+g):P_{n+m}\to P_{n+m}$

[provincialka]

Ну, вы уже усложняете. В принципе, ничего нет сложного придумать какую-нибудь операцию. Вопрос в том, будут ли у нее интересные свойства?

Посмотрим на малую размерность. Какие биекции есть при $n=2$? Запишем их с помощью циклов.
$f_1$: $(1,2);(3,4)$
$f_2$: $(1,3);(2,4)$
$f_3$: $(1,4);(2,3)$

В данном случае биекция вполне определяется тем элементом, который стоит в паре с единицей. Значит, любая операция на множестве $\{2,3,4\}$ порождает операцию на множестве $\{f_i\}$.

Можно построить операцию так, чтобы она задавала группу. Например, $f_i^2=f_i. f_if_j=f_k$, где $i,j,k$ попарно различны. Впрочем, это будет как раз композиция.

[AV_77]

FFFF в сообщении #786103 писал(а):

Может что-нибудь хитрое можно всё-таки придумать?

Очень странное желание. Обычно операции возникают не "из воздуха", а естественным путем из решаемых задач. А так выдумать операцию можно любую - занумеруйте все ваши подстановки и определите операцию на основе таблицы Кэли, например, для циклической группы нужного порядка, и радуйтесь. Только какой в этом смысл?

[FFFF]

provincialka
Спасибо! К сожалению, маленькие размерности не очень интересны, хотелось бы для произвольного $n$. Я в группах перестановок не особо разбираюсь, думал, что такие "биекции-инволюции без неподвижных точек" - это какие-нибудь хорошие элементы в $S_n$, условия ведь довольно естественные.
AV_77
смысл следующий: "естественной" операции на данном множестве мне не видно, может быть увидит другой участник форума, который в группах перестановок разбирается лучше меня.

[AV_77]

Ну, возьмите, например, сопряжение $a \circ b = a b a^{-1}$. Так ваше множество будет замкнуто и операция довольно естественная (для подстановок), но никакими "хорошими" свойствами не обладает.

Так что вопрос остается - в чем цель?

[provincialka]

FFFF в сообщении #786128 писал(а):

К сожалению, маленькие размерности не очень интересны, хотелось бы для произвольного $n$.

Все начинается с малого.
Вы лучше рассуждайте в терминах разбиений. Вот одно разбиение множества на пары. Вот другое. Как из них получить третье? Что это может быть? В конце концов, всегда существуют тривиальные операции типа $f\circ g = \operatorname{const}$ или $f\circ g = g$. Вы даже не сказали, должна ли операция принимать все возможные значения $f$. Должна она быть ассоциативной? Коммутативной? Групповой?

[FFFF]

AV_77
вот, сопряжение - это очень неплохо, спасибо!
Цель такая - есть алгебраическая задача: найти среди определённого класса конечно-представленных групп группу без кручения в соотношениях. Каждая биекция $f$ как раз естественно задаёт копредставление группы из этого класса. Простой перебор по всем биекциям ничего не даёт, класс очень большой, из проверенного всегда после упрощения соотношений одно из них становится кручением. Поэтому я хотел бы использовать какой-нибудь алгоритм направленного поиска такой группы. Проблема в том, что никакого порядка на этом классе нет, и саму биекцию так сразу с кручением не связать. Я хочу написать простенький генетический алгоритм и в качестве оператора скрещивания использовать какую-нибудь операцию на этом классе групп. Посмотреть, какие операции к каким результатам приводят.
provincialka
операция, конечно не обязана быть ни групповой ни коммутативной. Насчёт всех возможных значений $f$ - наверное, это слишком обременительно.

[AV_77]

FFFF в сообщении #786137 писал(а):

Только мне не очевидно, что у сопряжения тоже не будет неподвижных точек.

При сопряжении цикловая структура сохраняется. Так что если у $b$ неподвижных точек нет (нет циклов единичной длины), то и у $aba^{-1}$ их тоже не будет.

[FFFF]

AV_77
да, только что вручную проверил :)

[AV_77]

FFFF
А ваш класс каким из чего состоит? Из произвольных групп или все-таки из групп с каким-либо, возможно, полезным, свойством?

[FFFF]

AV_77
Да, у них в групповом кольце есть делитель нуля, можно считать, что полезное свойство :)

[patzer2097]

FFFF в сообщении #786153 писал(а):

AV_77
Да, у них в групповом кольце есть делитель нуля, можно считать, что полезное свойство :)

А в групповом кольце всегда есть делители нуля (если группа содержит хотя бы два элемента), погуглите 'augmentation ideal'

[bot]

С чего бы? Как бы всё наоборот
1.65. (I. Kaplansky) Does there exist a torsion-free group whose group algebra
has zero-divisors?
http://math.usask.ca/~bremner/research/ ... iester.pdf]