Ну, вы уже усложняете. В принципе, ничего нет сложного придумать
какую-нибудь операцию. Вопрос в том, будут ли у нее интересные свойства?
Посмотрим на малую размерность. Какие биекции есть при

? Запишем их с помощью циклов.

:


:


:

В данном случае биекция вполне определяется тем элементом, который стоит в паре с единицей. Значит, любая операция на множестве

порождает операцию на множестве

.
Можно построить операцию так, чтобы она задавала группу. Например,

, где

попарно различны. Впрочем, это будет как раз композиция.