Приращение значения.Приближение.

[songbird]

Добрый вечер.Такой вопрос:

На рисунке автора не было некоторых элементов, я их выделил цветом.
Если я правильно понял, то истинное значение $dr$ - это розовый отрезок.
Сиреневый - это отрезок, равный $r$.
Автор утверждает, что проекция $ds$ на вектор $F$ с точностью до бесконечно малой высшего порядка равна $dr$.И вопрос именно в этом - а данное утверждение можно как-нибудь математически получить?

[Dan B-Yallay]

songbird в сообщении #785835 писал(а):

И вопрос именно в этом - а данное утверждение можно как-нибудь математически получить?

$dr=ds\cdot \cos \alpha, \quad \alpha \approx 0$
$\cos x = 1- \dfrac {x^2}{2}+.... = 1-o(x)$

[provincialka]

А почему $\alpha \approx 0$? Ведь это угол между радиус-вектором и кривой. Для окружности он вообще равен $\frac\pi2$

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #785840 писал(а):

А почему $\alpha \approx 0$? Ведь это угол между радиус-вектором и кривой. Для окружности он вообще равен $\frac\pi2$

Извиняюсь. Я больше смотрел на рисунoк, чем читал пояснения и принял за "ds" розовый отрезок.

songbird Пропустите мой пост. Слушайте provincialk-y

[provincialka]

Дело в том что проекция получается, если из конца вектора $ds$ опустить перпендикуляр на вектор $F$. А $dr$ получается, если провести окружность, с центром в точке O. Но для малых углов эти точки практически совпадают. Только малым будет угол с вершиной в точке $O$

[songbird]

provincialka в сообщении #785846 писал(а):

Дело в том что проекция получается, если из конца вектора $ds$ опустить перпендикуляр на вектор $F$. А $dr$ получается, если провести окружность, с центром в точке O. Но для малых углов эти точки практически совпадают. Только малым будет угол с вершиной в точке $O$

Полностью согласен, но вот просто интересно, можно ли прям вывести что $ds_F=dr+$"бесконечно малая функция, дающая при стремлении угла к 0 с вершиной в точке О предел , равный 0"?

[provincialka]

Вопрос непонятный. Смотря что дано: каковы свойства кривой, откуда исходит $F$ и т.п.. По-крайней мере, надо ввести разумные обозначения, чтобы не описывать картинку словами. Геометрически это доказывается через сравнение хорды и дуги.