Численное вычисление стохастических интегралов

[Владимир [unn]]

Посоветуйте, пожалуйста, книги по сабджу.
Собственно интересует численное взятие интегралов вида:
$\int_a^b f(x)dx$,
где f(x) - случайная функция с заданной плотностью вероятности.

Заранее благодарен.

P.S. Быть может, у кого есть электронный вариант Быкова "Цифровое моделирование в статистической радиотехнике" - буду очень признателен )

[PAV]

PAV:

Правила форума требуют использовать в подобных случаях для набора формул TeX. Читайте про это либо здесь (кратко), либо здесь (более подробно).

До исправления тема перемещается в карантин. Когда исправите, сообщите об этом любому модератору и тема будет возвращена обратно.

[PAV]

PAV:

Возвращено в корневой раздел

Добавлено спустя 1 час 29 минут 22 секунды:

Не совсем ясна постановка задачи. Плотность вероятности задает распределение случайной величины, а не функции. Может быть, речь идет о спектральной плотности? В общем, неплохо было бы указать точно, что известно о функции $f(x)$.

[Владимир [unn]]

Да, немного нехорошо выразился.
Конечно, известна функция распределения $W(f;x)$ и нужно рассчитать интеграл
$\int_a^b f(x)dx$ (1).

Например, если f(x) - некоррелированный гауссов процесс с единичной дисперсией и нулевым средним, то, как я понимаю, из теории:
$\int_a^b f(x)dx \sim \sqrt{b-a}f(x)$,
где $\sim$ - обозначает статистическую эквивалентность.
Собственно нужно получить то же самое но численно.

Т.е. совсем грубо постановка задачи такова:
есть генератор случайного процесса, f(x), который генерит его в соответствии с заданной функцией распределения. И нужно так численно взять интеграл (1), чтобы получился случайный процесс с соответствующей функцией р-я.

[PAV]

В Вашем изложении все равно очень много небрежностей. Возможно, они свидетельствуют о том, что Вы не до конца владеете материалом, так что я рекомендую обратить на это внимание. Смотрите:

Цитата:

известна функция распределения $W(f;x)$

Если я правильно понимаю, Вы имеете в виду функцию распределения случайного процесса в каждой точке. Но эта информация недостаточна для задания процесса. Вообще-то процесс задается указанием конечномерных распределений, а не только одномерных. В частности, это существенно может повлиять на вопросы интегрирования.

Либо можно задать некоторый известный тип процессов, для которого может быть свое достаточное описание.

Вообще-то, если действительно процесс теоретически определен, то можно попробовать найти интеграл тоже теоретически, а не численно.

Цитата:

Например, если f(x) - некоррелированный гауссов процесс с единичной дисперсией и нулевым средним

У случайных процессов нет дисперсии. Гауссовские процессы задаются корреляционной функцией.

Цитата:

$\int_a^b f(x)dx \sim \sqrt{b-a}f(x)$,

Плохая запись, поскольку левая часть не зависит от $x$.

По сути же следует отметить, что неслучайный интеграл от случайной функции определяется как среднеквадратичный предел интегральных сумм. Можно также рассматривать потраекторый интеграл, но, вообще говоря, последний не обязан существовать и совпадать с первым. Если почти все реализации процесса интегрируемы по Риману и интеграл в среднеквадратичном смысле существует, тогда они совпадают с вероятностью единица.

Если в Вашем случае это так, то Вы можете интегрировать те реализации процесса, которые выдает генератор, и рассматривать результаты как набор реализаций интересующей Вас случайной величины (интеграла). Далее обычными статистическими методами получаете по полученной числовой выборке те свойства случайной величины, которые Вас интересуют.

Может быть, можно попробовать как-то подойти к этому и через частичные суммы (типа численно оценивать предел в среднем квадратичном), но я не очень понимаю, как это сделать строго.

По поводу теоретических вопросов могу порекомендовать заглянуть в книжку Вентцель "Теория случайных процессов", а также Миллер-Панков (с тем же названием).

[Владимир [unn]]

В плане статистической культуры, увы, Вы правы - ее мне не хватает. В "математика" из "физика" я переквалифицировался (и то неполностью) недавно. ((

Цитата:

Цитата:

Цитата:
известна функция распределения $W(f;x)$

Если я правильно понимаю, Вы имеете в виду функцию распределения случайного процесса в каждой точке. Но эта информация недостаточна для задания процесса. Вообще-то процесс задается указанием конечномерных распределений, а не только одномерных.

да, конечно, известны $W(\vec f;\vec x)$

Цитата:

У случайных процессов нет дисперсии. Гауссовские процессы задаются корреляционной функцией.

ну, т.к. он некоррелирован, то $<\xi(x_1)\xi(x_2)>=D\delta(x_1-x_2)$, вот D - я и называю "дисперсией". Извиняюсь за жаргон.

Цитата:

Можно также рассматривать потраекторый интеграл

А что Вы имеете в виду под названием потраекторного интеграла.

Цитата:

Если почти все реализации процесса интегрируемы по Риману

Ведь реализация случайного процесса разрывна в каждой точке, поэтому даже теряюсь, как это можно показать. Вот, например, тот же гауссов белый шум интегрируем по Риману или нет?

Цитата:

Если в Вашем случае это так, то Вы можете интегрировать те реализации процесса, которые выдает генератор, и рассматривать результаты как набор реализаций интересующей Вас случайной величины (интеграла). Далее обычными статистическими методами получаете по полученной числовой выборке те свойства случайной величины, которые Вас интересуют.

Собственно, пока я как раз так и делаю. Но терзаюсь сомнениями насчет обоснованности действий и адекватности результатов

[PAV]

Если Вы рассматриваете процессы, значения которых в различных точках независимы, то тогда действительно все плохо. Такие процессы обычно с вероятностью 1 разрывны в каждой точке, поэтому потраекторные интегралы действительно не существуют. На самом деле у меня есть сильное сомнение в том, что даже интеграл в смысле среднеквадратичного предела существует. И обоснованность действий действительно вызывает большие сомнения.

Добавлено спустя 45 минут 3 секунды:

Возможно, я не очень понял, что Вы имели в виду. Я решил, что $\delta$ - это дельта-функция. Тогда то, что я написал, все верно. Но если это константа, тогда процесс имеет не независимые значения, а независимые приращения. В этом случае у такого процесса существует реализация с непрерывными траекториями и проблем с интегралом Римана не возникает.

[Владимир [unn]]

К сложалению, $\delta$ -- действительно дельта-функция (я очепятался в пред. сообщении)

Т.е., видимо, нужно выбрать какое-нибудь другое (не в среднеквадратическом смысле) определение интеграла?

[PAV]

Возможно. А какой содержательный смысл интеграла Вы хотите видеть? Насколько я понимаю, наблюдаемые Вами траектории действительно постоянно "скачут", верно? Какую характеристику относительно них Вы тогда хотите видеть?

[Владимир [unn]]

Я пытаюсь получить реализацию процесса (который, собственно, и определяется через интеграл), чтобы, набрав ансамбль таких реализаций, рассчитать стат. характеристики результирующего процесса.
выражение под интегралом достаточно сложное, поэтому получить нужные моменты аналитически не представляется возможным

[PAV]

Еще одна не совсем понятная мне вещь. Что значит "процесс, который определяется через интеграл"? Интеграл дает одну случайную величину, а процесс должен быть параметризован. Может, Вы рассматриваете интеграл как функцию верхнего предела?

[Владимир [unn]]

Угу. Но т.к. в численной схеме функция верхнего предела вычисляется как набор определенных интегралов, то указывать эту подробность я не стал...

Наверное, лучше рассмотреть какую-нибудь простую модельную задачу.

Например, прохождение случайного сигнала $\xi(t)$ через линейную схему с импульсной характеристикой $h(t)$. Сигнал на выходе, определяется через свертку:
$ y(t) = \int\limits_{-\infty}^t \xi(t')h(t-t')dt'$
При численном расчете (например, в тех же стандартных тулбоксах MATLAB) рассчитывается реализация процесса и сворачивается с реализацией импульсной характеристики. Т.е. применяется интегрирование прямоугольником (что, в принципе, логично, т.к. другие методы интегрирования подразумевают ту или иную интерполяцию интегрируемой функции... а мы же имеем дело со случайной функцией ).
При этом у меня возникают два вопроса:
1). Насколько справедлив такой подход, т.е. для каких классов случайных процессов можно им пользоваться?
2). Как при этом выбирать шаг интегрирования, чтобы получить адекватный результат?

[ZheniaM]

Советую Вам ознакомится со следующими книжками:
1) Кузнецов Д.Ф. "Численное моделирование стохастических дифференциальных уравненй и и стохастических интегралов" и
2) В.С. Пугачёв "Теория стохастических систем".
Там подробно описаны интересующие Вас вопросы.

[Владимир [unn]]

никак не могу найти в сети электронный вариант пугачева "Теория стохастических систем".
ZheniaM, поделись, пожалуйста, если есть )))

[ZheniaM]

Я бы рад, да у меня её в электронном виде нету ...я предпочитаю, если есть возможность конечно, читать научные книги в твёрдом переплёте...или на худой конец в распичатанном виде....а монорфия В.С. Пугачева у меня есть только живьём ( как и книжка Кузнецова Д.Ф.)...посмотрите, наверняка в сети есть более раньяя книжка Пугачев В.С., Синицын И.Н. "Стохастические дифференциальные системы: Анализ и Фильтарция"...оба более страя, я не уверен что там есть именно то что Вам нужно, но пригодится в любом случае:)