Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое

[hjury]

День добрый, есть задача построить риманову поверхность для функции $(1-\sqrt{z})^{1/3}$, как легко заметить для этой поверхности нам придеться заготовить всего 6 листов.(Как я подозреваю из за того, что у корня квадратного - два значения, а у кубического три) Точки ветвления у данной функции, есть, очевидно точка $\quad z=0$ и $\quad z=1$ , так как в них неопределены внешний корень и внутренний, т.е. они обращаются в нуль.
Дальше соответственно мы должны проводить разрезы на наших листах и склеивать их, и вот тут я совсем не представляю как это правильно делать. В общем, на всех 6 листах нужно провести разрез в точке нуль, который обычно делают по линии $\left(-\infty,0\right]$, как я понимаю, мы делаем его на всех 6 листах из-за внутреннего корня. Далее, мне известно, что разрез в точке 1, делается лишь на трех листах. из шести. Как я понимаю, это связано с тем,что уравнение $\sqrt{z}=1$, и особенность у нас в том случае, если $z=\exp{\left(\frac{2\pi i k}{2}\right)}\cdot1$ положительно, т.е. когда $k=0,2,4$, и поэтому, мне кажется, что разрез будет лишь на листах с номерами 0,2 и 4. Собственно, если в этих рассуждениях я не наврал, то теперь их надо склеивать и тут я совершенно не понимаю как и почему.

[ex-math]

Не знаю, как с нумерацией листов, но вообще ситуация такая: когда вы обходите нуль по маленькой окружности, то квадратный корень возвращается к своему значению за два оборота, а ветвь кубического все та же. Так что вдоль луча, приходящего в нуль, надо склеивать листы парами, как у квадратного корня. Если же обходить единицу, то для одной ветви квадратного корня получается однозначность, а для другой возврат к значению происходит за три оборота. Значит, последние листы надо склеить вдоль луча, приходящего в единицу, как в кубическом корне, а первые не разрезать вообще. В итоге получается что-то вроде римановой поверхности $\sqrt[3]{1-z}$, листы которой еще расщеплены надвое в нуле. Если условно пронумеровать листы, то вдоль "нулевого" луча склеиваете 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, а вдоль "единичного" -- 1, 3 и 5. Надеюсь, что Вы извлечете хоть какую-то пользу из этого сумбурного ответа -- не знаю как изложить яснее

[hjury]

Цитата:

то квадратный корень возвращается к своему значению за два оборота

Поподробней про это, если можно.

Цитата:

то для одной ветви квадратного корня получается однозначность, а для другой возврат к значению происходит за три оборота. Значит, последние листы надо склеить вдоль луча, приходящего в единицу, как в кубическом корне, а первые не разрезать вообще.

Смутно понимаю, точнее как то, слабо укладывается в голове

[ex-math]

Если Вы обходите точку $z=0$ по маленькой окружности (аргумент увеличивается на $2\pi$), то $\sqrt z$ меняет знак (аргумент увеличивается на $\pi$) -- вы переходите на другой лист. При повторном обходе возвращаетесь на исходный лист. При этом таких пар листов три -- по числу значений кубического корня. Здесь важно, чтобы наша окружность не зацепила точку $z=1$.

Нужно понять, что нумеровать листы просто по приращению аргумента $z$, как Вы хотели, не получится. Присвойте им условные номера: главное значения кубического корня - $A$, другие два $B$ и $C$, главное значение квадратного корня 1, противоположное -- 2. Тогда вдоль луча $(-\infty,0]$ надо склеить между собой $1A$ и $2A$, $1B$ и $2B$, $1C$ и $2C$, как мы уже выяснили выше.

Если же вы обходите точку $z=1$ по маленькой окружности, то с листов с номерами, содержащими 2, вы никуда не перейдете, так как там $\sqrt1=-1$. А вот с листа $1A$ перейдете на лист $1B$, затем на $1C$ и потом вернетесь на $1A$. Вот так их и надо склеить вдоль $[1,+\infty)$.

Вообще это какой-то кустарный способ. Возможно есть и более прозрачные методы "сборки" и "визуализации" римановых поверхностей, но я не в курсе их.

[hjury]

А как быть с поверхностью вида $\operatorname{Ln}\operatorname{Ln}z$ ?
Изначально, вроде ясно, что понадобится счетное число листов, однако, сколько пачек? Одна или две?
Точки ветвления у этой функции, это $z=0 \quad z=1$. То есть разрезы можно провести по линиям $\left(-\infty, 0\right]$ и $\left[1,+\infty\right)$. И как склеивать в данном случае? Ведь, если мы обойдем по окружности вокруг нуля один раз, то получим приращение к внутреннему логарифму $2\pi i$, а это значит, что на другом листе точка 1, не будет точкой ветвления, и что делать?

[ex-math]

Думается, что пачек тоже счетное число, причем каждая пачка -- риманова поверхность $\ln\operatorname{Ln} z$. В каждой пачке есть ровно один лист с ветвлением. При обходе $z=1$ мы с этого листа переходим на аналогичный в другой пачке. Кажется так.

[hjury]

А для точки $z=0$ стандартная склейка в каждой пачке?

[ex-math]

Да.

[hjury]

ex-math в сообщении #779774 писал(а):

Да.

Благодарю, через некоторое время, попрошу еще проверить рассуждения в задачке о аналитическом продолжении вдоль кривой, если не сложно конечно.

[hjury]

Нужно было построить поверхность $((z-1)^{\frac{1}{3}}+(z+1)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}$
Как склеивать точки, $1$ и $-1$ понятно, но как склеивать всё это дело в точке $0$ непонятно.

[ex-math]

Задачи становятся все жестче.
Тут, кажется, надо 27 листов.
Наверно, надо разрезать их от $-1$ до $+\infty$ и смотреть, в каких промежутках как склеивать.
А ноль не на всех листах будет точкой ветвления.

[hjury]

Цитата:

Наверно, надо разрезать их от $-1$ до $+\infty$ и смотреть, в каких промежутках как склеивать.

А быть может на каждой плоскости будет два разреза $(-\infty,-1)$ и $(1,+\infty)$

Цитата:

А ноль не на всех листах будет точкой ветвления.

Да, он будет точкой ветвления, когда один из корней будет противоположного знака.

Ну так вот, почему бы не разместить все эти 27 листов в этакую вереницу, и соответственно разрезы по точкам ветвления $-1$ и $1$ склеиваются с друг другом стандартным образом( разве не так) ?

И все таки я немного не понимаю, по какому принципу мы склеиваем разреры, можно ли услышать какие-нибудь общие слова?

[ex-math]

Я не знаю никаких более общих слов, чем просто посмотреть, что будет с функцией при обходе точки ветвления. Соответствующие листы и склеивать.

Вот у Вас: как можно 27 листов склеить в двух точках стандартным образом, если в каждой точке склеиваются 3 листа? Пусть даже трижды три, все равно не 27. Значит, нужно разрезать до нуля. Пусть будет от $-\infty$ до $-1$ и от нуля (или от $1$, если в нуле нет ветвления) до $+\infty$.

Давайте опять нумеровать листы. Три корня из $z+1$ -- 1,2,3, три корня из $z-1$ -- a,b,c, три внешних корня -- A,B,C.

В точке $-1$ мы склеиваем листы 1aA,2aA,3aA и т.д. -- девять пачек по три.

В нуле ветвятся только девять листов -- 1a,2b,3c по три штуки каждого. Их склеиваем в три пачки 1aA,1aB,1aC и т.д.

Самое неприятное выходит в единице. Стартуем с 1aA, обходим единицу. Через полоборота, пройдя разрез [0,1], мы оказываемся на листе 1aC. А завершив оборот, должны выйти на 1bA. Значит, лист 1aC склеивается вдоль $[1,+\infty)$ с листом 1bA. И так далее.

[hjury]

А в каком направлении склеивать разреры? Точнее, у нас ведь разрез состоит из двух берегов, это определяется по тому, какой аргумент мы получаем на каждом из двух берегов( сверху, снизу)?

[ex-math]

Когда вы подходите к нижнему берегу, то значение функции совпадает с таковым на верхнем берегу другого листа -- эти берега и склеиваем. А если на том же листе подойти к верхнему берегу, то значение совпадет с таковым на нижнем берегу еще какого-то листа, склеиваем и их.