Производная по матричному аргументу

[g______d]

Утундрий в сообщении #785343 писал(а):

g______d
Да проще всё.

Вы предлагаете дифференцировать полином, но не дифференцировать коэффициенты, что ли? Тогда ответ будет зависеть от полинома; если мы возьмем другой полином с теми же значениями в собственных числах, то ответ будет другой.

Я уже предлагал тест: пусть дано выражение $f(A+tB)$. Напишите формулу для его производной по $t$. Для начала попробуйте для экспоненты.

[Otta]

g______d в сообщении #785391 писал(а):

Для начала попробуйте для экспоненты.

Да ладно для экспоненты. Для квадрата вполне уже показательно, имхо.

[g______d]

Для экспоненты я ничего лучше формулы

$$ \frac{d}{dt}e^{A+tB}=\int\limits_0^1 e^{\alpha(A+tB)}B e^{(1-\alpha)(A+tB)}\,d\alpha $$

не знаю. Формула взята из википедии.

[Утундрий]

g______d в сообщении #785391 писал(а):

предлагаете дифференцировать полином, но не дифференцировать коэффициенты, что ли?

Отнюдь.

-- Ср ноя 06, 2013 01:15:19 --

Чем не угодило обычное $\frac{d}{{dt}}e^{t\hat A} = \hat A \cdot e^{t\hat A} $?

[g______d]

Утундрий в сообщении #785431 писал(а):

Отнюдь.

Я очень ленивый человек, не могли бы Вы определение процитировать? У меня под рукой нет ЛЛ.

Утундрий в сообщении #785431 писал(а):

Чем не угодило обычное $\frac{d}{{dt}}e^{t\hat A} = \hat A \cdot e^{t\hat A} $?

Тем, что $tA$ и $A+tB$ -- немного разные вещи, особенно если $A$ и $B$ не коммутируют.

[Утундрий]

g______d в сообщении #785445 писал(а):

не могли бы Вы определение процитировать?

Определение проще некуда: $\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{v}}}} = \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial v_x }},\frac{{\partial f}}{{\partial v_y }},\frac{{\partial f}}{{\partial v_z }}} \right)$.

g______d в сообщении #785391 писал(а):

Я уже предлагал тест...

Сдаётся мне, таким способом получится некий аналог производной по направлению. Мы же тут боремся, если не ошибаюсь, за частные производные.

[g______d]

Утундрий в сообщении #785448 писал(а):

Сдаётся мне, таким способом получится некий аналог производной по направлению. Мы же тут боремся, если не ошибаюсь, за частные производные.

Ну хорошо, сосчитайте тогда частные производные, т. е. в качестве $B$ подставьте матрицу, в которой на одном месте единица, на остальных нули. Случай произвольной $B$ получится автоматически.

-- 06.11.2013, 03:24 --

Утундрий в сообщении #785448 писал(а):

Определение проще некуда: $\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{v}}}} = \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial v_x }},\frac{{\partial f}}{{\partial v_y }},\frac{{\partial f}}{{\partial v_z }}} \right)$.

Не понимаю, чем это отличается от градиента, и зачем тогда вообще ссылаться на ЛЛ.

[Утундрий]

g______d в сообщении #785466 писал(а):

Ну хорошо, сосчитайте тогда частные производные

Определите - сосчитаю.

Я, видите ли, иду некоторым образом от рядов. Вот ежели есть ряд, то в него завсегда можно подставить матрицу. Получится натурально матричный ряд, коий (спасибо Г.-К.) свернётся до полинома. Понятно, что таким способом всех функций получить не выйдет, ну и пёс с ними, с оставшимися.

[g______d]

Утундрий в сообщении #785469 писал(а):

Определите - сосчитаю.

Частной производной выражения $f(A)$ по матричному элементу $A_{ij}$ называется $\left.\frac{d}{dt} f(A+t B)\right|_{t=0}$, где $B_{kl}=\delta_{ik}\delta_{jl}$. Что такое $f(A)$ и $f(A+tB)$, надеюсь, понятно, но могу тоже определить. По-моему, это совпадает с определением через градиент.

Утундрий в сообщении #785469 писал(а):

Я, видите ли, иду некоторым образом от рядов. Вот ежели есть ряд, то в него завсегда можно подставить матрицу. Получится натурально матричный ряд, коий (спасибо Г.-К.) свернётся до полинома. Понятно, что таким способом всех функций получить не выйдет, ну и пёс с ними, с оставшимися.

Полином будет зависеть не только от функции, но и от матрицы. Поэтому дифференцировать его коэффициенты тоже придется. Я про это уже говорил.

-- 06.11.2013, 03:47 --

Утундрий в сообщении #785469 писал(а):

Понятно, что таким способом всех функций получить не выйдет

Выйдет, кстати. Достаточно взять любой полином, совпадающий с $f$ на спектре $A$. Но при дифференцировании это не поможет почти ни для каких функций: при рассмотрении приращения $A$ полином придется менять.

[Утундрий]

А, кажется понял в чём проблема. Не существует формального правила, которее позволило бы по внешнему виду функции составить её производную. Остаётся только вычислять тупо в лоб: брать значение в двух близких точках и находить предел.

[g______d]

Да, я именно про это. Т. е. чтобы продифференцировать $\sin(A(t))$, нужно знать не только $\cos(A(t))$ и $A'(t)$, но и в каком порядке их перемножать, если они не коммутируют. Как видно для экспоненты, порядок может быть сложным. Кстати, в физике, если мне не изменяет память, возникает похожая проблема, для которой вводится $T$-произведение.

[Dan B-Yallay]

Если ясно, что нужно искать поризводную Фреше, то надо как-то оговорить матричную норму, нет?

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #785477 писал(а):

Если ясно, что нужно искать поризводную Фреше, то надо как-то оговорить матричную норму, нет?

В конечномерном пространстве они все эквивалентны.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #785479 писал(а):

В конечномерном пространстве они все эквивалентны.

Я в курсе, но сейчас не об этом. Вы сами писали:

g______d в сообщении #785338 писал(а):

И в любом случае нужно знать, как ведут себя собственные значения матрицы при малых возмущениях.

He может ли так cлучиться, что одна и та же малая матрица-возмущение даcт разные по магнитуде приращения в различных нормах? Например в спектральной и Фробениуса? Или $\max$ и Шаттен нормах. Это от вида функции зависит, нет?
Попробую сам проверить.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #785480 писал(а):

Может ли так получиться, что одна и та же малая матрица-возмущение давать разные приращения в различных нормах? Например в спектральной и Фробениуса? Или $\max$ и Шаттен нормах.

Не очень понимаю вопроса. Где в определении приращения фигурирует норма? Собственные значения тоже от нормы не зависят.

Например, в определении дифференциала по Фреше: производной функции $f$ по направлению $E$ в точке $A$ называется (линейный по $E$) оператор $L_f(A,E)$, такой что

$$ f(A+E)-f(A)-L_f(A,E)=O(\|E\|^2). $$

Норма фигурирует только в правой части, и ее можно заменять на эквивалентную, поэтому оператор $L_f(A,E)$ от нормы не зависит.

В дифференциале Гато даже нормы не нужно.

-- 06.11.2013, 07:10 --

P. S. Я отвечал на более раннюю версию вопроса.