Численное дифференцирование

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка:
Получить таблицу значений функции $y=\cos(2x)$ на интервале от $1$ до $3$ с шагом $0.2$. Пользуясь безразностными формулами по трем точкам, найти численное значение первой производной в этих точках.

Формулы, насколько я понимаю, такие:

$$f'(x_{0}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{0}+4f_{1}-f_{2})$$

$$f'(x_{1}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{2}-f_{0})$$

$$f'(x_{2}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{0}-4f_{1}+3f_{2})$$

Собственно вопрос, а по каким формулам находить следующие значения?

Спасибо!

-- 06.11.2013, 00:06 --

Эти формулы получаются при дифференцировании многочлена Лагранжа, построенного по трем точкам, поэтому есть предположение: может взять, да построить многочлена Лагранжа через следующие три точки, и аналогично продифференцировать, то есть, грубо говоря, сдвинуть все на три точки, то есть:

$$f'(x_{3}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{3}+4f_{4}-f_{5})$$

$$f'(x_{4}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{5}-f_{3})$$

$$f'(x_{5}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{3}-4f_{4}+3f_{5})$$

Логично ли?

[_Ivana]

Сетка равномерная, в каждой точке кроме крайних используйте только производную для средней точки из трех, в крайних можно ваши формулы для краев интервала, но они будут сильно врать.

[Limit79]

_Ivana
То есть для каждой точки $1.2,1.4...2.8$ производную вычислять по формуле:

$$f'(x_{i}) = \frac{1}{2h} \cdot ( {f_{i+1}-f_{i-1})$$

а для крайних:

$$f'(x_{0}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{0}+4f_{1}-f_{2})$$

и

$$f'(x_{11}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{9}-4f_{10}+3f_{11})$$

?

[_Ivana]

Я не понимаю что значит "пользуясь безразностными формулами", но для внутренних точек я бы сделал именно так. А с краями всегда проблемы, эти формулы дадут совсем плохой результат, лучше взять производные равные ближайшим внутренним точкам или расширить сетку за края интервала.

[Limit79]

_Ivana в сообщении #785425 писал(а):

Я не понимаю что значит "пользуясь безразностными формулами"

Я могут быть не прав, но есть формулы численного дифференцирования, где используются (конечные) разности, а есть формулы, где используются непосредственно значения функции.

(Учебник)

[_Ivana]

А в разностных схемах используется что-то другое, кроме значений функций на сетке? У меня смутные подозрения, что так называемые разностные схемы дадут тот же результат.

[Утундрий]

_Ivana в сообщении #785435 писал(а):

в разностных схемах используется что-то другое, кроме значений функций на сетке?

Обычно нет.

[_Ivana]

Вот и я об этом. И если нам надо аппроксимировать производную в средней из трех точек на равномерной сетке, то мы должны получить либо ту же формулу, либо неправильную? Тогда какой смысл вкладывается в слова "пользуясь безразностными формулами"?

[Limit79]

_Ivana
Спасибо за помощь!

[TOTAL]

_Ivana в сообщении #785411 писал(а):

Сетка равномерная, в каждой точке кроме крайних используйте только производную для средней точки из трех, в крайних можно ваши формулы для краев интервала, но они будут сильно врать.

Не будут они сильно врать, они тоже имеют второй порядок точности.