2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное дифференцирование
Сообщение05.11.2013, 22:29 


29/08/11
1759
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка:
Получить таблицу значений функции $y=\cos(2x)$ на интервале от $1$ до $3$ с шагом $0.2$. Пользуясь безразностными формулами по трем точкам, найти численное значение первой производной в этих точках.

Формулы, насколько я понимаю, такие:

$$f'(x_{0}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{0}+4f_{1}-f_{2})$$
$$f'(x_{1}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{2}-f_{0})$$
$$f'(x_{2}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{0}-4f_{1}+3f_{2})$$

Собственно вопрос, а по каким формулам находить следующие значения?

Спасибо!

-- 06.11.2013, 00:06 --

Эти формулы получаются при дифференцировании многочлена Лагранжа, построенного по трем точкам, поэтому есть предположение: может взять, да построить многочлена Лагранжа через следующие три точки, и аналогично продифференцировать, то есть, грубо говоря, сдвинуть все на три точки, то есть:

$$f'(x_{3}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{3}+4f_{4}-f_{5})$$
$$f'(x_{4}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{5}-f_{3})$$
$$f'(x_{5}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{3}-4f_{4}+3f_{5})$$

Логично ли? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение05.11.2013, 23:20 


05/09/12
2587
Сетка равномерная, в каждой точке кроме крайних используйте только производную для средней точки из трех, в крайних можно ваши формулы для краев интервала, но они будут сильно врать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение05.11.2013, 23:49 


29/08/11
1759
_Ivana
То есть для каждой точки $1.2,1.4...2.8$ производную вычислять по формуле: $$f'(x_{i}) = \frac{1}{2h} \cdot ( {f_{i+1}-f_{i-1})$$ а для крайних: $$f'(x_{0}) = \frac{1}{2h} \cdot (-3f_{0}+4f_{1}-f_{2})$$ и $$f'(x_{11}) = \frac{1}{2h} \cdot (f_{9}-4f_{10}+3f_{11})$$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение05.11.2013, 23:57 


05/09/12
2587
Я не понимаю что значит "пользуясь безразностными формулами", но для внутренних точек я бы сделал именно так. А с краями всегда проблемы, эти формулы дадут совсем плохой результат, лучше взять производные равные ближайшим внутренним точкам или расширить сетку за края интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 00:05 


29/08/11
1759
_Ivana в сообщении #785425 писал(а):
Я не понимаю что значит "пользуясь безразностными формулами"

Я могут быть не прав, но есть формулы численного дифференцирования, где используются (конечные) разности, а есть формулы, где используются непосредственно значения функции.

(Учебник)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 00:22 


05/09/12
2587
А в разностных схемах используется что-то другое, кроме значений функций на сетке? У меня смутные подозрения, что так называемые разностные схемы дадут тот же результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
_Ivana в сообщении #785435 писал(а):
в разностных схемах используется что-то другое, кроме значений функций на сетке?

Обычно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 00:37 


05/09/12
2587
Вот и я об этом. И если нам надо аппроксимировать производную в средней из трех точек на равномерной сетке, то мы должны получить либо ту же формулу, либо неправильную? Тогда какой смысл вкладывается в слова "пользуясь безразностными формулами"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 01:03 


29/08/11
1759
_Ivana
Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование
Сообщение06.11.2013, 05:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
_Ivana в сообщении #785411 писал(а):
Сетка равномерная, в каждой точке кроме крайних используйте только производную для средней точки из трех, в крайних можно ваши формулы для краев интервала, но они будут сильно врать.
Не будут они сильно врать, они тоже имеют второй порядок точности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group