Кривая жалюзи

[EtCetera]

Сперва следует заметить, что в названии темы не допущена ошибка. Имеется в виду не кривая штора, а кривая линия, получившая от меня название в честь данной разновидности штор.
Представим себе, что наблюдатель смотрит вечером в окно и видит некий источник света. На окне у него висят жалюзи в виде тонких узких горизонтальных полосок, неплохо отражающих свет (полоски расположены на равных расстояниях вдоль вертикальной оси). На этих полосках он видит многочисленные отражения наблюдаемого источника света (на каждой по одному, разумеется). Предположим также, что на жалюзи нанесены риски, поэтому наблюдатель может легко определить координаты отражений по горизонтальной оси (совпадающей по направлению с длинной стороной полосок жалюзи). Требуется определить уравнение кривой, на которой лежат отражения источника, в виде $F(x, y) = 0$, где $x$ $\text{---}$ координата по горизонтальной оси, $y$ $\text{---}$ координата по вертикальной оси. Все необходимые для решения задачи данные (положение источника, наблюдателя, жалюзи, характеристики источника и жалюзи) считать известными.
P.S. Вероятно, задача скорее математическая, нежели физическая.

[arseniiv]

Пусть источник точечный. Если жалюзи зеркальные и очень узкие, видно будет только одно отражение (или ни одного, если полосок жалюзи не очень много). Это явно не тот случай, для которого писалась задача. Если не совсем узкие, виден будет отрезок прямой (при смещении горизонтальной жалюзины по вертикали мнимое изображение источника движется только по вертикали с вдвое большей скоростью, и при перспективной проекции прямые переходят в прямые).

Не знаю, что при других свойствах поверхности полосок и источника, хотя кажется, что при точечном источнике и матовой поверхности самые яркие точки полосок всё равно будут лежать на прямой.

Что-нибудь соответствует реальности?

[EtCetera]

arseniiv в сообщении #784079 писал(а):

Что-нибудь соответствует реальности?

Боюсь, что нет. В реальности кривая вовсе не прямая, а именно кривая (точнее, прямой она оказывается только в вырожденном случае, когда вертикальная плоскость, проведенная через источник и наблюдателя, перпендикулярна плоскости окна). Это может быть связано с одной особенностью формы полоски жалюзи, не оговоренной в первоначальном сообщении. Чтобы полоска не прогибалась, ее часто делают слегка изогнутой, вот так:
Кривая получается и в том случае, когда наблюдатель расположен ниже источника (по вертикали), и в том, когда он находится выше (т.е. если смотреть и на выпуклую, и на вогнутую сторону полосок жалюзи).
Кроме того, источник, возможно, нельзя считать точечным (эффект кривой наблюдался при использовании фонарей уличного освещения, неоновой рекламы, установленной на далеком здании, и Луны).

[dovlato]

Первое, что приходит голову - конечно, принцип Ферма. Но он почему-то здесь неприменим..

[ewert]

dovlato в сообщении #784123 писал(а):

Первое, что приходит голову - конечно, принцип Ферма. Сумма длин отрезков есть костанта.

Нет, Ферма тут не проскачет. Отражения-то всё-таки дискретны, и для каждой следующей полоски там свой Ферма.

[dovlato]

ewert в сообщении #784124 писал(а):

dovlato в сообщении #784123 писал(а):

Первое, что приходит голову - конечно, принцип Ферма. Сумма длин отрезков есть костанта.

Нет, Ферма тут не проскачет. Отражения-то всё-таки дискретны, и для каждой следующей полоски там свой Ферма.

Я понял, что неприменим..зеркало можно унести как угодно далеко. А вот асимптота у этой кривулины есть:
она проходит через середину отрезка между источником и глазом перпендикулярно плоскостям зеркал.
Причём в обе стороны (предп., что каждое зеркало двустороннее).

-- Вс ноя 03, 2013 19:34:28 --

У меня для всех точек отражения получилась гипербола.
А вот зато все изображения лягут на прямую, проходящую через источник перпендикулярно плоскостям зеркал.
Причём расстояние между соседними изображениями равно двойному расстоянию между зеркалами.

[arseniiv]

EtCetera в сообщении #784102 писал(а):

Боюсь, что нет.

Эх, нужны мне, похоже, жалюзи!

А у вас нет фотографий своих жалюзи с проявлением эффекта?

-- Вс ноя 03, 2013 21:59:03 --

Кстати, полоски обязательно горизонтальны, или могут быть наклонены как на фотографии? Показалось, что имелись в виду горизонтальные, я только про них и писал.

[EtCetera]

dovlato

dovlato в сообщении #784126 писал(а):

А вот зато все изображения лягут на прямую, проходящую через источник перпендикулярно плоскостям зеркал.

Вот этого не понял.

dovlato в сообщении #784126 писал(а):

Причём расстояние между соседними изображениями равно двойному расстоянию между зеркалами.

Такого не наблюдаю.

arseniiv

arseniiv в сообщении #784138 писал(а):

А у вас нет фотографий своих жалюзи с проявлением эффекта?

Нет. Попозже, возможно, сделаю.

arseniiv в сообщении #784138 писал(а):

Кстати, полоски обязательно горизонтальны, или могут быть наклонены как на фотографии? Показалось, что имелись в виду горизонтальные, я только про них и писал.

Наклон не важен, как ни странно. В определенных пределах, конечно. Поскольку если наклонить слишком сильно, то начинает пропадать либо верх, либо низ "кривой".

[dovlato]

Если я верно понял условие, то полоски этих жалюзей плоские, и все они параллельны друг другу.
Если так, то можно просто рассматривать изображения, создаваемые параллельными зеркалами. Можно вообще рассматривать
одно и то же зеркало, которое последовательно сдвигается по нормали на один и тот же шаг.
А изображения при таком движении зеркала будут выстраиваться по прямой, с шагом, вдвое большим.
Возможно, у вас полоски не параллельны. И не вполне плоские.
Или я вообще не так понял.

[ewert]

dovlato в сообщении #784197 писал(а):

Если я верно понял условие, то полоски этих жалюзей плоские, и все они параллельны друг другу.

Наверное, неверно поняли. Если все плоские, то ничего особенно интересного и не выйдет (т.е. выйдет только одна точка). А вот если все кругленькие, ну хоть чуток и неважно, каким образом кругленькие, то вот тогда эта лунная дорожка и появится.

Положим полоски на пол, а источник с приёмником поднимем над ними. Полоски считаем бесконечно узкими и абсолютно круглыми (т.е. считаем их проволочками). Пусть эти полоски вытянуты по оси игреков, а источник и приёмник расположены в точках с координатами $A(a,b,c_1)$ и $B(-a,-b,c_2)$. Если точка $M$ является одной из точек отражения, то нормальный вектор в этой точке есть $\dfrac{\overrightarrow{AM}}{\left|\overrightarrow{AM}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{BM}}{\left|\overrightarrow{BM}\right|}$. Чтобы эта точка действительно могла оказаться точкой отражения, нужно, чтобы нашлась хотя бы одна касательная к полоске плоскость, нормальный вектор которой направлен именно так. Т.е. попросту игрековая координата этой суммы должна быть нулевой, откуда и уравнение дорожки:

$$\dfrac{y-b}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+c_1^2}}+\dfrac{y+b}{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2+c_1^2}}=0.$$

Ну т.е. некая кривулька 4-го порядка.

Используется синтаксис Matlab M

r=1.5;
c1=1;   c2=2;

ss='bgrcmyk';
ss=[ss,ss,ss,ss];
n=12;

h=0.01;
xi=-2:h:2;
yi=-2:h:2;

[x,y]=meshgrid(xi,yi);

close
hold on

for k=0:n
    t=k*pi/(2*n);
    a=r*cos(t); b=r*sin(t);
    
    z=(y-b)./sqrt((x-a).^2+(y-b).^2+c1^2) + (y+b)./sqrt((x+a).^2+(y+b).^2+c2^2);
    
    s=ss(k+1);
    contour(xi,yi, z, [0,0], s)
    plot([-a,a], [-b,b], [s,'*'])
    grid
    if k<n,   pause;   end
end

hold off
 

-- Пн ноя 04, 2013 15:15:02 --

Пардон, на самом деле третьего (лень было раскрывать скобки). Более того, игрек явно выражается через икс, т.к. относительно игрека получается квадратное уравнение (как, впрочем, и относительно икса).

[dovlato]

Не "точка", а столько же точек, сколько плоских полосок (если, конечно, они ваще плоские). И - все точки на одной прямой.
Теперь, Ваши "проволочки".. наверное, такая интерпретация вполне возможна. Хотя лучше бы трубки, наверное?
Ваше уравнение получается из принципа Ферма (для каждой проволочки отдельно!)))) - как результат минимимизации
по игреку полного пути, равного сумме тех самых корней в знаменателях.

[ewert]

dovlato в сообщении #784603 писал(а):

- как результат минимимизации
по игреку полного пути, равного сумме тех самых корней в знаменателях.

Ну можно и так.

[ewert]

dovlato в сообщении #784603 писал(а):

Не "точка", а столько же точек, сколько плоских полосок (если, конечно, они ваще плоские)

Нет, всё-таки одна. Хотя бы по Вашему же принципу Ферма: натяните лучики на полоски. Если все полоски изогнуты, то у соотв. лучика есть шанс зацепиться за какую-то точку поверхности каждой полоски. Если же плоские, то зацепится только один лучик, а остальные соскользнут со своих полосок через край.

[EtCetera]

dovlato

dovlato в сообщении #784197 писал(а):

Возможно, у вас полоски не параллельны. И не вполне плоские.
Или я вообще не так понял.

Да нет, это я Вас не так понял. Перепутал отражения с изображениями.
Если брать плоские параллельные полоски жалюзи, то действительно получается гипербола. Только увидеть ее сложновато: надо взять достаточно редко расставленные широкие полоски и смотреть на источник под острым углом к окну. Но при этом гипербола получится только по рискам, наблюдатель будет видеть перед собой отрезок. В вырожденном случае (когда источник с наблюдателем находятся на одном уровне) и по рискам должен получиться отрезок. Насколько я понимаю, Вы имели в виду именно такой вариант (если нет, поправьте меня, пожалуйста).
Я же наблюдаю картину совсем иную. И безо всяких рисок вижу перед собой кривую. Причем вырождается в отрезок она только тогда, когда прямая "источник-наблюдатель" нормальна плоскости окна. Во всех остальных случаях вижу кривую. Случай, когда наблюдатель и источник находятся на одном уровне, отличается только тем, что кривая лучше просматривается в обоих направлениях (вверх и вниз).

ewert

ewert в сообщении #784678 писал(а):

Полоски считаем бесконечно узкими и абсолютно круглыми (т.е. считаем их проволочками).

Замечательная интерпретация! Особенно интересно, что выписанное Вами уравнение

$$\frac{x-a_1}{\sqrt{\left(x-a_1\right)^2+\left(y-b_1\right)^2+c_1^2}}+\frac{x-a_2}{\sqrt{\left(x-a_2\right)^2+\left(y-b_2\right)^2+c_2^2}}=0$$

прекрасно описывает не только кривую на выпуклой части полосок, но и на вогнутой.
В ожидании экспериментального подтверждения данного уравнения (хотя, подозреваю, точность определения положений отражений по снимкам может оказаться недостаточной для того, чтобы отличить кривую третьего порядка от гиперболы с параболой) предлагаю рассмотреть частные случаи:

• случай, когда источник с наблюдателем находятся на одном уровне;
• случай бесконечно удаленного источника;
• комбинация первых двух случаев (вероятно, самый простой вариант).

[EtCetera]

Сделал фотографию (при щелчке на ней открывается полный размер):

Извиняюсь за качество, для съемки использовалась простенькая мыльница, фотография сделана при большом ISO (800) и долгой выдержке (1 сек). Снимал с уровня подоконника, чтобы захватить наибольший кусок кривой по высоте. Видны кривые от нескольких источников света (несколько фонарей уличного освещения и неоновая реклама) на вогнутой стороне полосок жалюзи. Сами полоски почти горизонтальны, своей выпуклой частью слегка наклонены в сторону комнаты.
P.S. Как хорошенько снять замеры с подобной фотографии пока не знаю. И дело здесь не столько в плохом качестве фотографии, сколько в форме полосок жалюзи: они, к сожалению, вовсе не проволочки и не узкие трубочки, а ленты с ощутимой шириной и большим радиусом кривизны. Вдоль этой ширины отражения смещаются довольно заметно от полоски к полоске (что хорошо видно даже на такой фотографии). Данное обстоятельство заметно может снизить точность замеров.
P.P.S. Приветствуются любые предложения по более точному снятию точек графика кривой с жалюзи или ее изображения.